ボレル・カンテリの補題

E₁,E₂,... を、ある確率空間の事象の列とする。 このとき

もしの確率 P(E_n) の和が有限であれば、これらの事象が無限に多くの回数起こるような確率は 0 である^[3]。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty \Rightarrow \Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0}$

ここで "lim sup" は事象列の上極限で、明示的に書けば

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq n}^{\infty }E_{k}}$

仮定として独立性を課していないことに注意。

${\displaystyle [E_{n}]}$ を事象 ${\displaystyle E_{n}}$ の指示関数とする（アイバーソンの記法）。ルベーグの単調収束定理より

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{n}[E_{n}]\right)=\sum _{n}\operatorname {E} ([E_{n}])=\sum _{n}\Pr(E_{n})<\infty }$

よって

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{n}[E_{n}]=\infty \right)=0}$

なぜなら、さもなければ

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{n}[E_{n}]\right)\geq \int _{\{\sum _{n}[E_{n}]=\infty \}}\left(\sum _{n}[E_{n}]\right)\,\mathrm {d} \mathbb {\Pr } =\infty }$

となるからである^[4]。

一般の測度空間では、ボレル・カンテリの補題は次の形になる。

μ を集合 X 、完全加法族 F 上の（非負）測度とし、(A_n) を F の元の列とする。このとき

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty }$ ならば ${\displaystyle \mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0}$

これに関連して、帰結が反対となるような次の結果がある。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})=\infty }$ かつ事象列 ${\displaystyle (E_{n})_{n=1}^{\infty }}$ が独立ならば、${\displaystyle \Pr(\limsup _{n\rightarrow \infty }E_{n})=1}$

独立性の仮定は組ごとの独立性（任意の i ≠ j に対し P(E_i E_j)=P(E_i) P(E_j) となること）に弱めることができる。ただしその場合、証明がより複雑になる。

以下の通り変形する。ここで "i.o." は "infinitely often" の略、右肩の "c" は余事象をとることを表す。

${\displaystyle {\begin{aligned}1-\Pr(\limsup _{n\rightarrow \infty }E_{n})&=1-\Pr \left(\{E_{n}{\text{ i.o.}}\}\right)=\Pr \left(\{E_{n}{\text{ i.o.}}\}^{c}\right)\\&=\Pr \left(\left(\bigcap _{N=1}^{\infty }\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)^{c}\right)=\Pr \left(\bigcup _{N=1}^{\infty }\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)\\&=\Pr \left(\liminf _{n\rightarrow \infty }E_{n}^{c}\right)=\lim _{N\rightarrow \infty }\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)\end{aligned}}}$

ここで独立性より

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)&=\prod _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n}^{c})\\&=\prod _{n=N}^{\infty }(1-\Pr(E_{n}))\\&\leq \prod _{n=N}^{\infty }\exp(-\Pr(E_{n}))\\&=\exp \left(-\sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})\right)\\&=0\end{aligned}}}$

となって証明された。

（もしくは

${\displaystyle {\begin{aligned}-\log \left(\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)\right)&=-\log \left(\prod _{n=N}^{\infty }(1-\Pr(E_{n}))\right)\\&=-\sum _{n=N}^{\infty }\log(1-\Pr(E_{n}))\\&\geq \sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})\end{aligned}}}$

を考えてもよい）^[5]。

また別の関連する結果（いわゆる counterpart of the Borel–Cantelli lemma）がある。ここで類似（counterpart）というのは、${\displaystyle (A_{n})}$ に課す仮定を「独立性」から全く別のものに取り換えて、limsup が1になるための必要十分条件を与えるという意味でである。

事象列 ${\displaystyle (A_{n})}$ が ${\displaystyle A_{k}\subseteq A_{k+1}}$ を満たすとし、${\displaystyle {\bar {A}}}$ で ${\displaystyle A}$ の余事象を表す。

このとき、事象 ${\displaystyle A_{k}}$ が無限に多くの回数起こる（つまり、少なくともどれかが起こる）確率が 1 であるための必要十分条件は、真に増大する正整数列 ${\displaystyle (t_{k})}$ であって

${\displaystyle \sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}\mid {\bar {A}}_{t_{k}})=\infty }$

が成り立つようなものが存在することである。

このシンプルな結果は例えば、確率過程で時刻の部分集合 ${\displaystyle (t_{k})}$ を選んだときの到達確率（hitting probability）を論じるのに有用である（この場合普通、${\displaystyle (t_{k})}$ の選び方が本質的に重要になる）。

• ドゥーブのマルチンゲール収束定理（英語版）

（レヴィの0-1法則として知られる条件付き期待値の収束に関する命題がある。）

• クラトフスキ収束（英語版）
• 無限の猿定理