コルモゴロフの0-1法則

コルモゴロフの0-1法則は、より一般的に独立な σ-加法族に対して定式化できる。 (Ω,F,P) を確率空間、F_n ⊆ F (n=1,2,...) を独立なσ-加法族の列とする。

${\displaystyle G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}}$

は F_n, F_n+1, … を含む最小の σ-加法族である。このときコルモゴロフの0-1法則によれば、事象

${\displaystyle F\in \bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}$

の確率 P(F) は 0 または 1 のいずれでなければならない。

確率変数についてのステートメントは、σ-加法族についてのステートメントにおいて、F_n を X_n から生成された σ-加法族であるとすれば得られる。このとき定義より、末尾事象族は

${\displaystyle \sigma (X_{1},X_{2},\ldots X_{n},\ldots )}$

の部分集合族であって、かつ任意の有限個の X_n から生成される加法族

${\displaystyle \sigma (X_{j_{1}},X_{j_{2}},\ldots ,X_{j_{l}})\quad (j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{l})}$

とは独立であるような事象族である。つまり末尾事象とは、積集合 ${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}}$ の要素のことである。実際、任意の

${\displaystyle A\in \sigma (X_{j_{1}},X_{j_{2}},\ldots ,X_{j_{l}})}$

と任意の

${\displaystyle T\in \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}\subseteq G_{j_{l}+1}=\sigma (X_{j_{l}+1},X_{j_{l}+2},X_{j_{l}+3},\ldots )}$

は独立になっている。