マッケイ三次曲線

マッケイ三次曲線はいくつかの軌跡として定義される^[2]。

• 垂足円と九点円が接するような点Pの軌跡^[4]
• 点PとPの等角共役点と外心が共線である点の軌跡
• 擬調和三角形DEFと元の三角形ABCについてAB⊥FP,BC⊥DP,CA⊥EPとなるような（対垂であるような）点Pの軌跡
• 外心を通る直線と、その直線上の点の等角共役点の軌跡が成す外接円錐双曲線の交点（フォントネー点,Fontene points）の軌跡^[5]

などがある。

マッケイ三次曲線は重心座標 ${\displaystyle x:y:z}$ を用いて下の式で表される。

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2}))=0.}$

三線座標${\displaystyle \alpha$ :\beta :\gamma } では以下のように表される。

${\displaystyle \alpha (\beta ^{2}-\gamma ^{2})\cos A+\beta (\gamma ^{2}-\alpha ^{2})\cos B+\gamma (\alpha ^{2}-\beta ^{2})\cos C=0}$

マッケイ三次曲線は以下の点を通る^[2][6]。

• 内心と傍心
• 外心
• 垂心
• 垂心の外心チェバ共役点X₁₀₇₅
• X₁₀₇₅の等角共役点X₃₃₆₂
• ジェルゴンヌ三角形の垂心X₆₅の、垂心チェバ共役点X₂₂₅のミモザ変換（Mimoza transform,内心の、点Xと垂心の三線座標の積で表される点でのチェバ共役点）X₁₇₄₅
• X₁₇₄₅の等角共役点X₁₃₈₅₅