接円錐曲線

外接円錐曲線

外接円錐曲線の中心は

${\displaystyle u(-au+bv+cw):v(au-bv+cw):w(au+bv-cw).}$

である。外接円錐曲線が垂心を通る場合、九点円上に位置する^[1]。

A, B, C での接線はそれぞれ以下の式となる。

${\displaystyle {\begin{aligned}wv+vz&=0,\\uz+wx&=0,\\vx+uy&=0.\end{aligned}}}$

内接円錐曲線

内接円錐曲線の中心は以下の式で与えられる。

${\displaystyle cv+bw:aw+cu:bu+av.}$

各辺との接点は(0:w:v),(w:0:u),(v:u:0)である。

外接円錐曲線

• △ABCの頂点でない外接円と、外接円錐曲線の交点の三線座標は以下の式で与えられる。

${\displaystyle (cx-az)(ay-bx):(ay-bx)(bz-cy):(bz-cy)(cx-az)}$

• ${\displaystyle P=p:q:r}$ が外接円錐曲線上にあるとき,その外接円錐曲線のPを通る接線は以下の式で表される。

${\displaystyle (vr+wq)x+(wp+ur)y+(uq+vp)z=0.}$

• 外接円錐曲線が放物線であることと、以下の式が成立することは同値である^[2]。

${\displaystyle u^{2}a^{2}+v^{2}b^{2}+w^{2}c^{2}-2vwbc-2wuca-2uvab=0,}$

双曲線であることは以下の式が成立することと同値である。

${\displaystyle u\cos A+v\cos B+w\cos C=0.}$

• 楕円に内接する三角形のうち、最も面積が大きいものの重心は楕円の中心と一致する^[3]。逆に三角形に外接する楕円のうち、最も面積の大きいものの中心は三角形の重心と一致し、その楕円はシュタイナーの外接楕円である。

内接円錐曲線

• 内接円錐曲線が放物線であることと、以下の式が成立することは同値である。

${\displaystyle ubc+vca+wab=0,}$

このとき、三角形の辺との接点のうち、1つは三角形の辺上にあり、他2つは辺の延長線上で接する。また、ブリアンション点(後述)はシュタイナー外接楕円上にある。

• 2点をそれぞれ${\displaystyle p_{1}:q_{1}:r_{1},p_{2}:q_{2}:r_{2}}$とする。また、

${\displaystyle X=(p_{1}+p_{2}t):(q_{1}+q_{2}t):(r_{1}+r_{2}t).}$

t を実数として、上式で表される点 X の軌跡は直線である。

${\displaystyle X^{2}=(p_{1}+p_{2}t)^{2}:(q_{1}+q_{2}t)^{2}:(r_{1}+r_{2}t)^{2}.}$

上式の点 X² の軌跡は下の式で表される楕円を成す。

${\displaystyle L^{4}x^{2}+M^{4}y^{2}+N^{4}z^{2}-2M^{2}N^{2}yz-2N^{2}L^{2}zx-2L^{2}M^{2}xy=0,}$

ただし、

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=q_{1}r_{2}-r_{1}q_{2},\\M&=r_{1}p_{2}-p_{1}r_{2},\\N&=p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}.\end{aligned}}}$

• 内接円錐曲線が楕円（内接楕円）であることは、その中心が中点三角形の内側にあることと同値である^[3]:p.139。 また、中点三角形の内側にある点に対して、その点を中心とする楕円の内接円錐曲線は一意である^[3]:p.142。
• 楕円の内接円錐曲線のうち、最も面積の大きいのはシュタイナーの内接楕円で各辺と中点で接する。シュタイナーの内接楕円の中心は重心である^[3]:p.145。一般に楕円の内接円錐曲線の面積と三角形の面積の比について、楕円の中心の絶対重心座標を(α, β, γ) とし、以下の式が成り立つ^[3]:p.143。

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$

相加相乗平均の不等式より α = β = γ = ⅓すなわち楕円の中心が重心であるとき、面積が最大であることがわかる。