マルチンケーヴィッチの定理

マルシンケーヴィッチの定理は、非公式的には次のようなものである。

定理： T は ${\displaystyle L^{p}}$ から ${\displaystyle L^{p,w}}$ への有界線型作用素であり、同時に ${\displaystyle L^{q}}$ から ${\displaystyle L^{q,w}}$ への有界線型作用素でもあるとする。このとき p と q の間の任意の r に対して、T は ${\displaystyle L^{r}}$ から ${\displaystyle L^{r}}$ への有界線型作用素となる。

言い換えると、端点 p および q での弱有界性のみを仮定したとしても、その内側では通常の有界性が得られるということになる。これをより正式に言うために、T は稠密部分集合上でのみ有界で完全であることを説明する必要がある。詳細についてはリース＝ソリンの定理を参照されたい。

マルチンケーヴィッチの定理がリース＝ソリンの定理よりも弱い点は、ノルムの評価である。この定理では T の ${\displaystyle L^{r}}$ ノルムに対する上界が与えられているが、r が p あるいは q に収束につれてこの上界は発散する。具体的に (DiBenedetto 2002, Theorem VIII.9.2)、次を仮定する。

${\displaystyle \|Tf\|_{p,w}\leq N_{p}\|f\|_{p},}$

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq N_{q}\|f\|_{q}.}$

すなわち L^p から L^p,w へのT の作用素ノルムは高々 N_p であり、 L^q から L^q,w へのT の作用素ノルムは高々 N_q である。このとき、次の補間不等式が、p と q の間のすべての r と、すべての f ∈ L^r に対して成り立つ：

${\displaystyle \|Tf\|_{r}\leq \gamma N_{p}^{\delta }N_{q}^{1-\delta }\|f\|_{r}.}$

ここで

${\displaystyle \delta ={\frac {p(q-r)}{r(q-p)}}}$

および

${\displaystyle \gamma =2\left({\frac {r(q-p)}{(r-p)(q-r)}}\right)^{1/r}.}$

である。この定数 δ および γ は、q=∞ に対しても極限を取ることで与えられる。

• 補間空間（英語版）

• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5 .
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7 .
• Marcinkiewicz, J. (1939), “Sur l'interpolation d'operations”, C. R. Acad. des Sciences, Paris 208: 1272–1273 
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
• Zygmund, A. (1956), “On a theorem of Marcinkiewicz concerning interpolation of operations”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 35: 223–248, ISSN 0021-7824, MR0080887