マンガレリの等式

t-区間 [a, b] 上の二階線型微分方程式系 ${\displaystyle (p_{i}(t)x_{i}^{\prime })^{\prime }+q_{i}(t)x_{i}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{i}(a)=1,\,\,x_{i}^{\prime }(a)=R_{i}\,}$ の ${\displaystyle n}$ 個の解を考える。ただし ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ である。${\displaystyle \Delta }$ は前進差分を表す作用素、すなわち ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}}$ で与えられる作用素とする。二次の差分作用素は、この一次の作用素を ${\displaystyle \Delta ^{2}(x_{i})=\Delta (\Delta x_{i})=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i}}$ のように繰り返すことで得られ、より高次の差分についても同様に定義される。

以下では簡単のために独立変数 t を省略し、(a, b] 上では ${\displaystyle x_{i}(t)\neq 0}$ が成立するものとする。このとき、次の等式が成り立つ^[2]：

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}}$

ここで ${\displaystyle r_{i}=x_{i}^{\prime }/x_{i}}$ は対数微分であり、${\displaystyle W(x_{i},x_{j})=x_{i}^{\prime }x_{j}-x_{i}x_{j}^{\prime }}$ はロンスキアン、${\displaystyle C(n-1,k)}$ は二項係数を表す。${\displaystyle n=2}$ のとき、この等式はピコーンの等式となる。

上の等式は三つの線型微分方程式に対して、ただちに以下の比較定理を導く^[3]。これはスツルム＝ピコーンの比較定理の拡張である。

${\displaystyle p_{i},\,q_{i},\,}$ i = 1, 2, 3 を、区間 [a, b] 上の実数値連続関数とし、

1. ${\displaystyle (p_{1}(t)x_{1}^{\prime })^{\prime }+q_{1}(t)x_{1}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{1}(a)=1,\,\,x_{1}^{\prime }(a)=R_{1}\,}$
2. ${\displaystyle (p_{2}(t)x_{2}^{\prime })^{\prime }+q_{2}(t)x_{2}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}(a)=1,\,\,x_{2}^{\prime }(a)=R_{2}\,}$
3. ${\displaystyle (p_{3}(t)x_{3}^{\prime })^{\prime }+q_{3}(t)x_{3}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{3}(a)=1,\,\,x_{3}^{\prime }(a)=R_{3}\,}$

を三つの自己随伴形式の二階同次線型微分方程式とし、

${\displaystyle p_{i}(t)>0\,}$ が各 i および [a, b] 内のすべての t に対して成立するものとし、${\displaystyle R_{i}}$ は任意の実数とする。

[a, b] 内のすべての t に対して、

${\displaystyle \Delta ^{2}(q_{1})\geq 0}$,

${\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1})\leq 0}$,

${\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1}(a)R_{1})\leq 0}$

の成立を仮定する。このとき、[a, b] 上で ${\displaystyle x_{1}(t)>0}$ であり、${\displaystyle x_{2}(b)=0}$ であるなら、任意の解 ${\displaystyle x_{3}(t)}$ は [a, b] 内に少なくとも一つのゼロ点を持つ。

• Clark D.N., G. Pecelli, and R. Sacksteder (1981). Contributions to Analysis and Geometry. Baltimore, USA: Johns Hopkins University Press 

• Mingarelli, Angelo B. (1979). “Some extensions of the Sturm–Picone theorem”. Comptes Rendus Math. Rep. Acad. Sci. Canada (Toronto, Ontario, Canada: The Royal Society of Canada) 1 (4): 223–226.