ミケルの定理

ミケルの定理を共線でない3点A' , B' , C' の成す三角形に着目した場合はForder (1960, p. 17)によってPivot theorem（ミケルの要の定理^[5]）と名づけられている^[6]。

A' , B' , C' のBC, CA, ABに対するfractional distances（線分の長さを1とした時の、線分の始点からの距離）をそれぞれd_a,d_b,d_c、線分BC, CA, ABの長さをそれぞれa,b,cとしてそのミケル点の三線座標(x,y,z)は以下の式で表される。

${\displaystyle x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}'+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}'d_{c}'\right)}$

${\displaystyle y=b\left(a^{2}d_{a}'d_{b}'-b^{2}d_{b}d_{b}'+c^{2}d_{b}d_{c}\right)}$

${\displaystyle z=c\left(a^{2}d_{a}d_{c}+b^{2}d_{b}'d_{c}'-c^{2}d_{c}d_{c}'\right),}$

ただしd' _a= 1 - d_a,d' _b= 1 - d_b,d' _c= 1 - d_c である。

d_a=d_b=d_c=1/2である場合、ミケル点は外心(cos α : cos β : cos γ)になる。

ミケルの定理の逆は次のような定理である。点Mを通る3円について、1つの円上に点A をとり、2つ目の円とのMでないほうの交点の一つをC'として、直線AC'と2つ目の円のC'でない方の交点をBとする。同様に、3つ目の円に対してBからA',Cをつくる。このとき点A,C,B'は共線であり、△ABCの辺上にA' ,B' ,C' が存在する。

△XYZが三角形△ABCに内接し相似であるとき、任意の△XYZにおいて、そのミケル点は不動である^{[7]:p. 257}。

完全四辺形（英語版）の辺から成る4つの三角形の外接円は一点で交わる^[8]。これをミケルの四辺形定理またはミケルとシュタイナーの四辺形定理（Miquel and Steiner's Quadrilateral Theorem）という。また、この共点を四辺形のミケル点という。

この定理は、1827,1828年にヤコブ・シュタイナーによってジョセフ・ジェルゴンヌ の出版物（Annales de Gergonne）で発表されたが、厳密な証明はミケルによって与えられた^[8][9]。

凸な五角形ABCDEについて、その辺を延長し星形五角形FGHIKをつくる。5つの円CFD,DGE,EHA,AIB,BKCの、隣り合う円の元の五角形の頂点でない方の交点は共円である^[10]。これをミケルの五点円定理（Miquel's pentagon theorem）という。この定理の逆として、五円定理が知られている。

円上に四点A,B,C,Dをとり、隣り合う2点を通る円延べ4円を描く。それぞれの円について、4円の隣り合う円との交点の一方が共円ならば、もう一方の交点も共円である。これをミケルの六円定理（Miquel's six circle theorem）または六円定理（six circles theorem）、四円定理（four circles theorem）という^[11]。ただし、六円定理は別の定理を指すこともある。この定理は一般にはシュタイナーによるものとされているが、証明を行ったのはミケルのみである^[12]。 David G. Wellsはこの定理もMiquel's theoremと呼んでいる^[13]。

ミケルの定理は三次元に一般化されている。三角形を四面体に、円を球に置き換える。4つの球は一点で交わる^[4]。

• クリフォードの定理
• 八円定理
• Bundle theorem（英語版）
• ミケル配置（英語版）