六円定理

半周長が1である△A₁A₂A₃について、線分A_iA_i-1, A_iA_i+1とC_i-1,C_i+1に接する円をC_iとする（A₄=A₁）。また、A_iと、その対辺と内接円の接点の距離をa_iとして

${\displaystyle a_{i}=\cos ^{2}(\alpha _{i})\quad (0<\alpha _{i}<{\frac {\pi }{2}})}$

とする。すると

${\displaystyle \cos ^{2}(\alpha _{1})+\cos ^{2}(\alpha _{2})+\cos ^{2}(\alpha _{3})=1}$

を得る。このとき内接円の半径rについて

${\displaystyle r=\cos(\alpha _{1})\cos(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3})}$

が成り立つ。C_i-1とA_iA_i-1, A_iA_i+1の接点と、A_iの距離をx_iとして

${\displaystyle x_{i}=\cos ^{2}(\varphi _{i})\quad (0<\varphi _{i}<{\frac {\pi }{2}})}$

とすると、

${\displaystyle \varphi _{i}=\pi -\varphi _{i-1}-\alpha _{i+1}}$

が成り立つ^[7]。このことと円の中心が角の二等分線上にあることから、円の半径を求めることができる。また、計算していくと、

${\displaystyle \varphi _{7}=\varphi _{1}}$

が分かるので、連鎖が6であることが分かる。

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C₁とC₂がそれぞれD₁,D₂で接しているとする。また、C_iの半径をr_iとすると、

${\displaystyle A_{1}D_{1}=\cos ^{2}{\varphi _{1}},D_{1}D_{2}=2{\sqrt {r_{1}r_{2}}},A_{2}D_{2}=\cos ^{2}{\varphi _{2}}}$

また、三角形と比の定理（英語版）より

${\displaystyle {\frac {r}{r_{i}}}={\frac {\cos ^{2}\alpha _{i}}{\cos ^{2}\varphi _{i}}}}$

なので

${\displaystyle {\sqrt {r_{1}r_{2}}}=\cos \alpha _{3}\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}}$

である。これを用いれば

${\displaystyle A_{1}A_{2}=\cos ^{2}\alpha _{1}+\cos ^{2}\alpha _{2}=1-\cos ^{2}\alpha _{3}=\cos ^{2}\varphi _{1}+2\cos \alpha _{3}\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}+\cos ^{2}\varphi _{2}}$

を得る。この式をcosφ₂について解くと

${\displaystyle \cos \varphi _{2}=-\cos \varphi _{1}\cos \alpha _{3}\pm \sin \varphi _{1}\sin \alpha _{3}=\cos(\pi -\varphi _{1}\mp \alpha _{3})}$

となる。0<φ₂<π/2に注意すれば

${\displaystyle \varphi _{2}=\pi -\varphi _{1}-\alpha _{3}}$

となる。よって、円の半径の項で見たようにこの式を循環的に使えば、証明される^[7]。

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最初の円を内接円にすると、奇数回目の操作で得られる円は常に内接円となる。特に

${\displaystyle \varphi _{2}=\pi -\alpha _{1}-\alpha _{3},\varphi _{4}=\pi -\alpha _{3}-\alpha _{2},\varphi _{6}=\pi -\alpha _{2}-\alpha _{1}}$

が成り立つので、

${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{1}+\alpha _{3})}{\cos ^{2}\alpha _{2}}},{\frac {r_{4}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{3}+\alpha _{2})}{\cos ^{2}\alpha _{1}}},{\frac {r_{6}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{2}+\alpha _{1})}{\cos ^{2}\alpha _{3}}}}$

が従う。これは1814年の算額の書物や1781年の西洋算法でも示されている^[8][9]。他に1730年、1817年のThe Ladies' Diary（英語版）にも書かれている。

The Ladies' Diaryでは以下の形で紹介されている^[10]。

${\displaystyle r={\sqrt {r_{2}r_{4}}}+{\sqrt {r_{4}r_{6}}}+{\sqrt {r_{6}r_{2}}}}$

4つ目の円と1つ目の円を一致させると円の周期は3になりマルファッティの円となる。特に

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}=\varphi _{4}={\dfrac {1}{2}}(\pi +\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{2}=\varphi _{5}={\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{3}=\varphi _{6}={\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}-\alpha _{2}+\alpha _{3})\end{aligned}}}$

が従う。