ミラー指数

まず六方晶系以外の場合におけるミラー指数を方向指数、面指数の順に説明する

二次元結晶の結晶軸とは本来、基本並進ベクトルと称される2本のベクトルであるべきだが、実際には回転対称性などを考慮し、基本並進ベクトルとは限らない（2本の）格子ベクトルが取られることもある。ただ、代表的な表面についてはどのような格子ベクトルを結晶軸とするか決められている^[1][3]。

ある結晶の結晶軸として${\displaystyle {\vec {a}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}_{2}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}_{3}}$を取ったとする。このとき、格子点同士を結ぶ任意のベクトル${\displaystyle {\vec {A}}}$は、整数の組 K, L, M を用いて

${\displaystyle {\vec {A}}=K{\vec {a}}_{1}+L{\vec {a}}_{2}+M{\vec {a}}_{3}}$

の形で書き表される。この事実により結晶学では『方向${\displaystyle {\vec {A}}}$』のことを 『[KLM]方向』と呼ぶ^[2][3]。但し、[1,0,0]のような書き方、つまり成分の間にカンマを入れるような書き方はしない。表記上の問題で成分の区切りが認識しづらい場合は[1012]のように成分に下線を引いて区別する。また、[−1 0 0] のように（K=−1, L=0, M=0）負の成分を持つ方向は数字の上にバーをつけ、${\displaystyle [{\bar {1}}00]}$のように書く。

さらに、対称性（空間群対称性）の観点から等価な方向指数は、そのうちもっともシンプルなもので代表させることが多い。例えば、単純立方晶においては${\displaystyle [100],[010],[001],[{\bar {1}}00],[0{\bar {1}}0],[00{\bar {1}}]}$は、点群対称性の観点から全て等価であるため、これらは${\displaystyle \langle 100\rangle }$で代表させる。

ある結晶の結晶軸として${\displaystyle {\vec {a}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}_{2}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}_{3}}$を取ったとする。このとき、各軸のそれぞれ 1/k, 1/l, 1/m で交わる平面は、本質的に１つしか存在し得ない。このことを用いてこの平面を (klm)面と書く^[2][3]。ここで、一般的には[KLM]方向は、(klm)面の法線とは限らない。

方向指数と同様に、等価な面を{klm}で表す。

1. 1 2 キッテル固体物理学入門上・下　/ Charles Kittel著
2. 1 2 3 表面科学・触媒科学への展開 / 川合眞紀、堂免一成著 . -- 東京 : 岩波書店 , 2003.6 (岩波講座現代化学への入門 / 岡崎廉治 [ほか] 編 ; 14)
3. 1 2 3 物質の対称性と群論/今野 豊彦 . -- 東京 : 共立出版, 2001.10

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