ミー・グリュナイゼンの状態方程式

グリュナイゼンモデルから次のようになる。

${\displaystyle p_{0}}$および${\displaystyle e_{0}}$は基準状態での圧力と内部エネルギーを表す。質量、運動量、エネルギー保存のためのランキン・ユゴニオの式は、次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}U_{s}&=\rho (U_{s}-U_{p})\,\\[1ex]p_{H}-p_{H0}&=\rho _{0}U_{s}U_{p}\,\\[1ex]p_{H}U_{p}&=\rho _{0}U_{s}\left({\frac {U_{p}^{2}}{2}}+E_{H}-E_{H0}\right)\end{aligned}}}$

ここで、${\displaystyle \rho _{0}}$は基準密度、${\displaystyle \rho }$は衝撃圧縮による密度、${\displaystyle p_{H}}$はユゴニオでの圧力、${\displaystyle E_{H}}$はユゴニオでの単位質量あたりの内部エネルギー、${\displaystyle U_{s}}$は衝撃速度、${\displaystyle U_{p}}$は粒子速度を表す。質量保存の法則から、次式が得られる。

${\displaystyle {\frac {U_{p}}{U_{s}}}=1-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}=1-{\frac {V}{V_{0}}}=:\chi \,}$

ここで、${\displaystyle V=1/\rho }$を定義し、これは単位質量あたりの体積（比体積）を表す。多くの材料では、${\displaystyle U_{s}}$と${\displaystyle U_{p}}$は線形関係にあり、以下のように表される。

${\displaystyle 1=U_{s}=C_{0}+sU_{p}}$

ここで、${\displaystyle C_{0}}$と${\displaystyle s}$は材料に依存する。これにより、次式が得られる。

${\displaystyle U_{s}=C_{0}+s\chi U_{s}\quad }$

${\displaystyle \quad U_{s}={\frac {C_{0}}{1-s\chi }}\,}$

運動量の方程式は、（主にユゴニオでは、${\displaystyle p_{H}0=0}$とする。）次のようになる。

${\displaystyle p_{H}=\rho _{0}\chi U_{s}^{2}={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\,}$

同様に、エネルギー方程式は、次のようになる。

${\displaystyle p_{H}\chi U_{s}={\tfrac {1}{2}}\rho \chi ^{2}U_{s}^{3}+\rho _{0}U_{s}E_{H}={\tfrac {1}{2}}p_{H}\chi U_{s}+\rho _{0}U_{s}E_{H}\,}$

${\displaystyle e_{H}}$を解くと次のようになる。

${\displaystyle E_{H}={\tfrac {1}{2}}{\frac {p_{H}\chi }{\rho _{0}}}={\tfrac {1}{2}}p_{H}(V_{0}-V)}$

これらの${\displaystyle p_{H}}$と${\displaystyle E_{H}}$の式を用いると、ユゴニオでのグリュナイゼンモデルは次のようになる。

${\displaystyle p_{H}-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}\left({\frac {p_{H}\chi V_{0}}{2}}-e_{0}\right)\quad {\text{or}}\quad {\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\left(1-{\frac {\chi }{2}}\,{\frac {\Gamma }{V}}\,V_{0}\right)-p_{0}=-{\frac {\Gamma }{V}}e_{0}\,}$

さらに、${\displaystyle 1=\Gamma /V=\Gamma _{0}/V_{0}}$と仮定し、${\displaystyle p_{0}=-de_{0}/dV}$とすると、次式が得られる。

上記の常微分方程式は、${\displaystyle V=V_{0}}$（${\displaystyle \chi =0}$）のとき、${\displaystyle e_{0}=0}$という初期条件を用いて解くことができる。正確な解は次の通りである。

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}={\frac {\rho C_{0}^{2}V_{0}}{2s^{4}}}{\Biggl [}&\exp(\Gamma _{0}\chi )\left({\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-3\right)s^{2}-{\frac {\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-(3-s\chi )\right]s^{2}}{1-s\chi }}+\\&\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]\left(\Gamma _{0}^{2}-4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\end{aligned}}}$

ここで、${\displaystyle Ei[z]}$は指数積分を表し、${\displaystyle p_{0}}$の式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{0}=-{\frac {de_{0}}{dV}}={\frac {\rho C_{0}^{2}}{2s^{4}(1-\chi )}}{\Biggl [}&{\frac {s}{(1-s\chi )^{2}}}{\Bigl (}-\Gamma _{0}^{2}(1-\chi )(1-s\chi )+\Gamma _{0}[s\{4(\chi -1)\chi s-2\chi +3\}-1]\\&\qquad \qquad \quad -\exp(\Gamma _{0}\chi )[\Gamma _{0}(\chi -1)-1](1-s\chi )^{2}(\Gamma _{0}-3s)+s[3-\chi s\{(\chi -2)s+4\}]{\Bigr )}\\&-\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]\left[\Gamma _{0}(\chi -1)-1\right]\left(\Gamma _{0}^{2}-4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\,\end{aligned}}}$

一般的な圧縮問題において、厳密解の近似として次のような冪級数解が使用される。

${\displaystyle e_{0}(V)=A+B\chi (V)+C\chi ^{2}(V)+D\chi ^{3}(V)+\cdots }$

${\displaystyle p_{0}(V)=-{\frac {de_{0}}{dV}}=-{\frac {de_{0}}{d\chi }}\,{\frac {d\chi }{dV}}={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )\,}$

これをグリュナイゼンモデルに代入すると、次のようなミー・グリュナイゼンの状態方程式が得られる。

${\displaystyle p={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )+{\frac {\Gamma _{0}}{V_{0}}}\left[e-(A+B\chi +C\chi ^{2}+D\chi ^{3}+\cdots )\right]\,}$

内部エネルギー${\displaystyle e_{0}}$が、${\displaystyle V=V_{0}}$（${\displaystyle \chi =0}$）のときに0であると仮定すると、${\displaystyle A=0}$となる。同様に、${\displaystyle p_{0}}$が${\displaystyle V=V_{0}}$のときに0であると仮定すると、${\displaystyle B=0}$となる。その結果、ミー・グリュナイゼンの状態方程式は次のように書き表せる。

${\displaystyle p={\frac {1}{V_{0}}}\left[2C\chi \left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+3D\chi ^{2}\left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{3}}\chi \right)+\cdots \right]+\Gamma _{0}E}$

ここで、${\displaystyle E}$は単位基準体積あたりの内部エネルギーを表す。この状態方程式にはいくつかの形式が存在する。

一次項を方程式（2）に代入し、${\displaystyle C}$を解くと次のようになる。

${\displaystyle C={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}V_{0}}{2(1-s\chi )^{2}}}\,}$

これにより、${\displaystyle p}$の式は次のようになる。

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+\Gamma _{0}E\,}$

これが、一般的に使用される一次のミー・グリュナイゼンの状態方程式である^[要出典]。

• 衝撃波
• 衝撃波管
• ハイドロスタティック・ショック（英語版）
• 粘塑性（英語版）