ランキン・ユゴニオの式

上述の物理的仮定のもとで、流体の状態は以下の連続の式、運動量保存則およびエネルギー保存則によって記述される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}\\{\frac {\partial (\rho u)}{\partial t}}&=-{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u^{2}+p)\\{\frac {\partial (\rho E)}{\partial t}}&=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho u\left(e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right]\end{aligned}}}$

ここで

e ：比内部エネルギーもしくは比エンタルピー、[J/kg]

${\displaystyle E=e+{\frac {1}{2}}u^{2}}$ ：総エネルギー、[J/kg]

である。さらに定常なので時間微分項は 0 になるなどの仮定を用いてこれらを積分すると、以下の式が得られる：

${\displaystyle {\begin{aligned}&Q\equiv \rho u={\rm {constant}}\\&\rho u^{2}+p={\rm {constant}}\\&pu+Q\left({\frac {u^{2}}{2}}+e\right)=\mathrm {constant} \end{aligned}}}$

簡単のため、衝撃波は平面として、${\displaystyle x}$方向にのみ伝搬するものとする。衝撃波が通過する前の領域(衝撃波上流)と衝撃波が通過した後の領域(衝撃波下流)とで物理量は不連続になっており、上流側の密度、速度、単位質量あたりの内部エネルギー(specific internal energy)、圧力を${\displaystyle \rho _{0},v_{0},\varepsilon _{0},P_{0}}$とし、下流側の密度、速度、単位質量あたりの内部エネルギー、圧力を${\displaystyle \rho _{1},v_{1},\varepsilon _{1},P_{1}}$とする。

質量(連続の式)、運動量、エネルギーの保存則から

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}v_{0}&=\rho _{1}v_{1}\\\rho _{0}v_{0}^{2}+P_{0}&=\rho _{1}v_{1}^{2}+P_{1}\\\left(\rho _{0}\varepsilon _{0}+{\frac {1}{2}}\rho _{0}v_{0}\right)v_{0}+P_{0}v_{0}&=\left(\rho _{1}\varepsilon _{1}+{\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}\right)v_{1}+P_{1}v_{1}.\end{aligned}}}$

第１式で第３式をわると

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{0}+{\frac {1}{2}}v_{0}^{2}+{\frac {P_{0}}{\rho _{0}}}=\varepsilon _{1}+{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}+{\frac {P_{1}}{\rho _{1}}}\\\Rightarrow &h_{1}-h_{0}={\frac {1}{2}}(v_{0}^{2}-v_{1}^{2})\quad \mathrm {where} \quad h_{i}\equiv \varepsilon _{i}+{\frac {P_{i}}{\rho _{i}}}\end{aligned}}}$

ここで、${\displaystyle h_{i}}$は単位質量あたりのエンタルピーである。さらに第１式を

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rho _{1}}{\rho _{0}}}={\frac {v_{0}}{v_{1}}}={\frac {V_{0}}{V_{1}}}\quad \mathrm {where} \quad V_{i}\equiv {\frac {1}{\rho _{i}}}\end{aligned}}}$

と変形する。ここで${\displaystyle V_{i}}$は単位質量あたりの体積である。すると第２式から

${\displaystyle {\begin{aligned}&\rho _{0}v_{0}^{2}+P_{0}={\frac {\rho _{0}^{2}}{\rho _{1}}}v_{0}^{2}+P_{1}\\\Rightarrow &v_{0}^{2}={\frac {P_{1}-P_{0}}{\rho _{0}-{\frac {\rho _{0}^{2}}{\rho _{1}}}}}={\frac {P_{1}-P_{0}}{\rho _{0}-{\frac {\rho _{0}^{2}}{\rho _{1}}}}}=V_{0}^{2}{\frac {P_{1}-P_{0}}{V_{0}-V_{1}}}\\\Rightarrow &v_{1}^{2}=V_{1}^{2}{\frac {P_{1}-P_{0}}{V_{0}-V_{1}}}.\end{aligned}}}$

より

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{0}-v_{1}&=\left(1-{\frac {V_{1}}{V_{0}}}\right)v_{0}=\left(1-{\frac {V_{1}}{V_{0}}}\right)V_{0}{\sqrt {\frac {P_{1}-P_{0}}{V_{0}-V_{1}}}}={\sqrt {(P_{1}-P_{0})(V_{0}-V_{1})}}\\v_{0}^{2}-v_{1}^{2}&=(P_{1}-P_{0})(V_{0}+V_{1})\\\end{aligned}}}$

エンタルピーの表式に代入することで

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}-h_{0}={\frac {1}{2}}(P_{1}-P_{0})(V_{0}+V_{1})\end{aligned}}}$

を得る。もしくは

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}-\varepsilon _{0}&={\frac {1}{2}}(v_{0}^{2}-v_{1}^{2})+V_{0}P_{0}-V_{1}P_{1}\\&={\frac {1}{2}}(P_{1}-P_{0})(V_{0}+V_{1})+V_{0}P_{0}-V_{1}P_{1}\\&={\frac {1}{2}}(P_{1}+P_{0})(V_{0}-V_{1}).\end{aligned}}}$

これをランキン・ユゴニオ関係(Rankin-Hugoniot relation)と呼ぶ。

1つの衝撃波による圧縮の限界を調べる。理想気体の場合、状態方程式${\displaystyle P=(\gamma -1)\rho \varepsilon }$ を仮定すれば

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {P_{1}V_{1}}{\gamma -1}}-{\frac {P_{0}V_{0}}{\gamma -1}}={\frac {1}{2}}(P_{1}+P_{0})(V_{0}-V_{1})\\\Rightarrow &{\frac {V_{1}}{V_{0}}}={\frac {(\gamma +1)P_{0}+(\gamma -1)P_{1}}{(\gamma -1)P_{0}+(\gamma +1)P_{1}}}\xrightarrow {P_{1}/P_{0}\rightarrow \infty } {\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}.\end{aligned}}}$

つまり、輻射優勢期 ${\displaystyle \gamma =4/3}$を考えれば元々の体積の1/7まで圧縮される。

磁場があるときの運動量保存則は次のようにかける：

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}=-\underbrace {\nabla \left(p+{\frac {1}{8\pi }}B^{2}\right)} _{\text{pressure}}+\underbrace {{\frac {1}{4\pi }}({\boldsymbol {B}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {B}}} _{\text{EM}}-\underbrace {\rho \nabla \Phi _{\mathrm {grav} }} _{\text{gravitation}}+\underbrace {{\hat {x}}_{i}\partial _{j}\sigma _{ij}} _{viscosity}.\end{aligned}}}$

これを${\displaystyle x}$方向について書き下し、${\displaystyle \rho v_{x}=const}$を用いると

${\displaystyle {\begin{aligned}&\rho v_{x}\partial _{x}v_{x}=-\left(p+{\frac {1}{8\pi }}B^{2}\right)+{\frac {B_{x}}{4\pi }}\partial _{x}B_{x}-\rho \partial _{x}\Phi _{\mathrm {grav} }+\partial _{x}\sigma _{xx}\\\Rightarrow &\partial _{x}\left(\rho v_{x}^{2}+p+{\frac {B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}{8\pi }}-\sigma _{xx}\right)=-\rho \partial _{x}\Phi _{\mathrm {grav} }\\\Rightarrow &\rho _{1}v_{1}^{2}+p_{1}+{\frac {B_{1y}^{2}+B_{1z}^{2}}{8\pi }}=\rho _{2}v_{2}^{2}+p_{2}+{\frac {B_{2y}^{2}+B_{2z}^{2}}{8\pi }}.\end{aligned}}}$

ここで粘性ストレステンソル${\displaystyle \sigma _{xx}}$が衝撃波上流と下流で、波面に非常に近い領域でない限り、０に限りなく近いことを利用して項を落としている。また、重力項も無視している。

一方、磁場があるときのエネルギー保存則は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\varepsilon +{\frac {B^{2}}{8\pi }}\right)=-\left(p+{\frac {B^{2}}{8\pi }}\right)(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})&+{\frac {(\nabla \cdot {\boldsymbol {B}})({\boldsymbol {v}}\cdot ){\boldsymbol {B}}}{4\pi }}+\nabla \cdot ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\sigma }})\\&-\rho {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \Phi _{\mathrm {grav} }+\Gamma -\Lambda -\nabla \cdot (-\kappa \nabla T).\end{aligned}}}$

同様に${\displaystyle x}$方向について書き下し、

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\rho v_{x}v^{2}+\varepsilon v_{x}+pv_{x}+{\frac {B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}{4\pi }}v_{x}-{\frac {B_{x}B_{y}v_{y}}{4\pi }}-{\frac {B_{x}B_{z}v_{z}}{4\pi }}-v_{j}\sigma _{jx}-\kappa {\frac {dT}{dx}}+\rho v_{x}\Phi _{\mathrm {grav} }\right)=\Gamma -\Lambda .\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int (\Gamma -A)dx\approx 0}$、重力項を無視して

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{2}}\rho _{1x}v_{1}^{2}+\varepsilon _{1}\right.&\left.+p_{1}+{\frac {B_{1y}^{2}+B_{1z}^{2}}{4\pi }}\right)v_{1x}-{\frac {B_{1x}B_{1y}v_{1y}-B_{1x}B_{1z}v_{1z}}{4\pi }}-\kappa _{1}{\frac {dT_{1}}{dx}}\\&=\left({\frac {1}{2}}\rho _{2x}v_{2}^{2}+\varepsilon _{2}+p_{2}+{\frac {B_{2y}^{2}+B_{2z}^{2}}{4\pi }}\right)v_{2x}-{\frac {B_{2x}B_{2y}v_{2y}-B_{2x}B_{2z}v_{2z}}{4\pi }}-\kappa _{2}{\frac {dT_{2}}{dx}}\end{aligned}}}$

を得る。加えて、磁束保存

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {B}}=\nabla \times ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\end{aligned}}}$

について、${\displaystyle \partial _{t}\partial _{y}=\partial _{z}=0}$より${\displaystyle y,z}$成分について

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=-\partial _{x}(v_{x}B_{y}-v_{y}B_{z})\\0&=-\partial _{x}(v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}).\end{aligned}}}$

さて、前節と同様の状況を考える。${\displaystyle v_{1x}=v_{1},v_{2x}=v_{2}}$、それ以外の速度は0とする。質量、運動量、エネルギー、磁束の保存を書き下せば

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}v_{1}&=\rho _{2}v_{2}\\\rho _{1}v_{1}^{2}+p_{1}+{\frac {B_{1}^{2}}{8\pi }}&=\rho _{2}v_{2}^{2}+p_{2}+{\frac {B_{2}^{2}}{8\pi }}\\\left({\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\varepsilon _{1}+p_{1}+{\frac {B_{1}^{2}}{4\pi }}\right)v_{1}&=\left({\frac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\varepsilon _{2}+p_{2}+{\frac {B_{2}^{2}}{4\pi }}\right)v_{2}\\v_{1}B_{1}&=v_{2}B_{2}.\end{aligned}}}$

理想気体の状態方程式${\displaystyle p=(\gamma -1)\varepsilon }$を同様に仮定する。同様に計算を頑張ると

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {2(\gamma +1)}{D+{\sqrt {D^{2}+4(\gamma +1)(2-\gamma )M_{A}^{-2}}}}},\quad \mathrm {where} \quad D\equiv \gamma -1+2M^{-2}+\gamma M_{A}^{-2},\quad M\equiv {\frac {v_{1}}{\sqrt {\gamma p_{1}V_{1}}}},\quad M_{A}\equiv {\frac {v_{1}}{B_{1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{V_{1}}}}.\end{aligned}}}$

これをランキン・ユゴニオ関係(Rankin-Hugoniot relation)と呼ぶ。 ${\displaystyle v_{1}}$の速度が磁気音速(magnetrosonic speed)${\displaystyle V_{\mathrm {ms} }}$に比べ十分大きいとき(${\displaystyle v_{1}\gg V_{\mathrm {ms} }}$:強衝撃波極限)、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {v_{1}}{v_{2}}}&\rightarrow {\frac {V_{1}}{V_{2}}}\rightarrow {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}\\v_{2}&\rightarrow {\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}v_{1}\\T_{2}&={\frac {p_{2}}{\rho _{2}k_{B}}}\rightarrow {\frac {2(\gamma -1)}{(\gamma +1)^{2}}}{\frac {\mu v_{s}^{2}}{k_{B}}}.\end{aligned}}}$

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