メリン変換

局所可積分な関数 f のメリン変換は

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx}$

により定義される。 任意の小さな正の数 ${\displaystyle \epsilon }$ に対して、 ${\displaystyle x\to +0}$ のとき ${\displaystyle f(x)=O(x^{-a-\epsilon })}$ 、 ${\displaystyle x\to +\infty }$ のとき ${\displaystyle f(x)=O(x^{-b+\epsilon })}$ と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、 ${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)}$ は ${\displaystyle a<\Re (s)<b}$ で解析的な関数となる。

また、メリン逆変換は

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}$

により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 c は ${\displaystyle a<c<b}$ を満たす任意の実数である。 このような逆が存在するための条件は、メリン逆定理（英語版）で与えられている。

両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$

と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)}$

と表される。

メリン変換は、積分核 x^s を用いた、乗法的ハール測度 ${\displaystyle {\frac {dx}{x}}}$ についての積分と考えることが出来る。ここで ${\displaystyle {\frac {dx}{x}}}$ は拡張 ${\displaystyle x\mapsto ax}$ について不変であり、したがって ${\displaystyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}}}$ が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 ${\displaystyle dx}$ についての積分と考えられる。ここで ${\displaystyle dx}$ は移動不変であり、したがって ${\displaystyle d(x+a)=dx}$ が成り立つ。

同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、

${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(is)}$

が成立する。反対に

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)}$

も成立する。メリン変換はまた、ニュートン級数（英語版）や二項変換（英語版）を、ポアソン-メリン-ニュートン・サイクル（英語版）の意味におけるポアソン母関数と結び付ける。

${\displaystyle c>0}$、${\displaystyle \Re (y)>0}$ および主枝（英語版）上の ${\displaystyle y^{-s}}$ に対して、

${\displaystyle e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds}$

が成立する。ここで ${\displaystyle \Gamma (s)}$ はガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている^[1]。

数論における重要な応用例として、単関数 ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x<1,\\x^{a}&x>1\end{cases}}}$ に対し

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)={\frac {1}{s+a}}}$

が成立する、ということが挙げられる。

メリン変換を用いることで、リーマンゼータ関数 ${\displaystyle \zeta (s)}$ についての公式を得ることができる。${\displaystyle f(x)={\frac {1}{e^{x}-1}}}$としたとき${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (s)}{n^{s}}}=\Gamma (s)\zeta (s)}$よって

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}dx}$

ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ （Lp空間を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$ を含む。そのため、線形作用素 ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ を

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx}$

によって定義することが出来る。言い換えると、集合

${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is)}$

を定義することが出来る。この作用素は通常 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ を記号として用いる。このときメリン逆定理（英語版）により、${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ は可逆であって、その逆は

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds}$

と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち ${\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}}$ がすべての${\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )}$ に対して成立することが分かる（この性質のために係数 ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ が用いられている）。したがって、${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ はユニタリ作用素である。

確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる^[2]。X を確率変数とし、X⁺ = max{X,0} をその正の部分、X⁻ = max{−X,0} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}$

として定義される^[3]。ここで γ は、γ² = 1 を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b}（ただしa ≤ 0 ≤ b）内のすべての s に対して存在する^[3]。

確率変数 X のメリン変換 ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}_{X}(it)}$ は、その分布関数 F_X を一意に定める^[3]。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい^[4]。すなわち、

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}$

が成立する。

メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。

この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。

• ディリクレ級数へのメリン逆変換の応用について述べたものに、ペロンの公式がある。
• メリン変換は素数計数関数の解析に用いられる。またリーマンゼータ関数の議論にも現れる。
• メリン逆変換は主にリース平均に現れる。
• メリン変換はオーディオ・タイムスケール-ピッチ調整に使うことが出来る。

• メリン逆定理（英語版）
• ペロンの公式