メルテンスの定理

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メルテンスの定理（メルテンスのていり、Mertens' theorems）は、1874年にポーランドの数学者フランツ・メルテンス（英語版）によって証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。評価の厳しさは素数定理よりも弱いが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。

p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。

\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1),

\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+b+o(1),

\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {e^{-\gamma }+o(1)}{\log n}}.

O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。

また第二定理に現れる定数 b をMeissel–Mertens定数（英語版）という。

第一定理の証明

素数 p が n の階乗 $n!$ を割り切る回数を $e(p,n)$ とおくとルジャンドルの公式より

e(n,p)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor

であるから

{\frac {n}{p}}-1\leq e(n,p)<{\frac {n}{p-1}}

が成り立つ。よって

\sum _{p\leq n}\log p\left({\frac {n}{p}}-1\right)\leq \log n!=\sum _{p}e(n,p)\log p<\sum _{p\leq n}{\frac {n\log p}{p-1}}

となるから

\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\leq {\frac {1}{n}}\left(\log n!+\sum _{p\leq n}\log p\right)

となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より

\sum _{p\leq n}\log p=\theta (n)<2n\log 2

が成り立ち、階乗の増大度について、

\log n!=\sum _{k=1}^{n}\log k=n\log n-n+O(\log n)

がすぐわかる（スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる）から

\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\leq {\frac {1}{n}}\log n!+2\log 2\leq \log n+C_{1}

となる定数 $C_{1}$ が存在する。一方

\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\geq \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}-C_{2}>{\frac {1}{n}}\log n!-C_{2}\geq \log n-C_{3}

となる定数 $C_{2},C_{3}$ が存在することは

\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p(p-1)}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\log k}{k(k-1)}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2\log k}{k^{2}}}

が収束することからわかる。

第二定理の証明

$S(x)=\sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}},R(x)=S(x)-\log x$ とおく。第一定理より $R(x)=O(1)$ である。よって積分

\int _{2}^{x}{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}

は $x\rightarrow \infty$ のとき収束する。したがって、アーベルの総和公式より

{\begin{aligned}\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}&={\frac {S(n)}{\log n}}+\int _{2}^{n}{\frac {S(t)}{t\log ^{2}t}}dt\\&=1+{\frac {R(n)}{\log n}}+\int _{2}^{n}{\frac {dt}{t\log t}}+\int _{2}^{n}{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}\\&=\log \log n+1-\log \log 2+{\frac {R(n)}{\log n}}+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}-\int _{n}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}\\&=\log \log n+1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {R(n)}{\log n}}+O\left(\int _{n}^{\infty }{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}\right)\\&=\log \log n+1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}+O\left({\frac {1}{\log n}}\right)\end{aligned}}

となるので、第二定理は

b=1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}

について成り立つ。

第三定理の証明

収束性は

\sum _{p\leq n}-\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}+\sum _{p\leq n}\sum _{m\geq 2}{\frac {1}{mp^{m}}}

および

\sum _{p>n}\sum _{m\geq 2}{\frac {1}{mp^{m}}}=O\left(\sum _{p>n}{\frac {1}{p^{2}}}\right)=O\left({\frac {1}{n}}\right)

から、第二定理よりすぐに導かれる。

定数部分が $e^{-\gamma }$ であることの証明は概略のみ述べる。

h(s)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}},g(s)=h(s)-\log \zeta (s)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}+\log \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right),P(x)=\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}

とおく（ g (s) についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる）。アーベルの総和公式を用いて

h(s)=(s-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {P(t)}{t^{s}}}dt

が得られる。ここで $t=e^{u/(s-1)}$ とおくとオイラーの定数の積分表示から

(s-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {\log \log t}{t^{s}}}dt=\int _{1}^{\infty }e^{-u}\log {\frac {u}{s-1}}dt=-\gamma -\log(s-1)

となる。これと第二定理を用いて

h(s)+\log(s-1)+\gamma -b\rightarrow 0(s\rightarrow 1+0)

が示せる。 $(s-1)\zeta (s)\rightarrow 1(s\rightarrow 1+0)$ より

g(1)=\lim _{s\rightarrow 1+0}g(s)=\lim _{s\rightarrow 1+0}(h(s)-\log \zeta (s))=b-\gamma

つまり

\sum _{p\leq x}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=-\gamma +b-P(x)+o(1)

である。再び第二定理を用いて

\sum _{p\leq x}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=-\gamma -\log \log n+o(1)

が得られ、第三定理が示される。

参考文献

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