チェビシェフ関数

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第二チェビシェフ関数は第一チェビシェフ関数を使って

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{1\leq n\leq \ln _{2}x}\vartheta \left(x^{1/n}\right).}$

と表される。したがって

${\displaystyle |\psi (x)-\vartheta (x)|={\sqrt {x}}+(1+o(1)){\sqrt[{3}]{x}}}$

により、 第一チェビシェフ関数と第二チェビシェフ関数の差は比較的小さいことが示される。チェビシェフ関数と素数計数関数 π(x) との間には、

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}\ln p\int _{p}^{x}{\frac {dt}{t\ln ^{2}t}}+{\frac {1}{\ln x}}\sum _{p\leq x}\ln p=\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)\,dt}{t\ln ^{2}t}}+{\frac {\vartheta (x)}{\ln x}}.}$

という関係が成り立つ。

また、第二チェビシェフ関数は 1 から n までのすべての整数の最小公倍数の対数に等しい：

${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}$

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第二チェビシェフ関数を補正した関数

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{2}}\left(\psi (x+h)+\psi (x-h)\right)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\frac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

は、リーマンゼータ関数を使い、

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln(2\pi )-{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2}).}$

と表示できる。ここで ${\displaystyle \rho }$ はゼータ関数の非自明な零点すべてを走る。ゼータ関数の零点に関する考察から

${\displaystyle \psi _{0}(x)\sim x}$

がわかり、ここから、前節の性質を用いて素数定理

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$

を導くことができる。

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現在、下記の評価が知られている： （以下、 p₁ = 2, p₂ = 3, ... といった具合に p_k は k 番目の素数を表す）

${\displaystyle \vartheta (p_{k})\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2.050735}{\ln k}}\right)}$ for ${\displaystyle k\geq 10^{11},}$

${\displaystyle \vartheta (p_{k})\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)}$ for ${\displaystyle k\geq 198,}$

${\displaystyle |\vartheta (x)-x|\leq 0.006788{\frac {x}{\ln x}}}$ for ${\displaystyle x\geq 10544111,}$

${\displaystyle |\psi (x)-x|\leq 0.006409{\frac {x}{\ln x}}}$ for ${\displaystyle x\geq e^{2}2,}$

${\displaystyle \psi (x)<\left(1+{\frac {1}{36260}}\right)x}$ for ${\displaystyle x>0,}$

${\displaystyle \psi (x)-\vartheta (x)>0.9999{\sqrt {x}}}$ for ${\displaystyle x\geq 121,}$

${\displaystyle 0.9999{\sqrt {x}}<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}}$ for ${\displaystyle x>0,}$

また、リーマン予想により、次の評価が得られる：

${\displaystyle |\vartheta (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\ln ^{2}x}$ for ${\displaystyle x\geq 599,}$

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\ln ^{2}x}$ for ${\displaystyle x\geq 73.2,}$

これらの評価にはリーマンのゼータ関数の零点に関する評価と、チェビシェフ関数に対する複雑な近似公式が必要である。

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一方、初等的な方法により

${\displaystyle \vartheta (n)<2n\ln 2}$ for ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$

となることを証明することができる。^[1]

• ${\displaystyle n=1}$ のとき、 ${\displaystyle \vartheta (n)=0<2\ln 2.}$
• ${\displaystyle n=2}$ のとき、 ${\displaystyle \vartheta (n)=\ln 2<4\ln 2.}$

ここで、 n が m -1 以下の整数のとき、上記の不等式が正しいと仮定する。

• ${\displaystyle m>2}$ が偶数とする。 ${\displaystyle \vartheta (m)=\vartheta (m-1)<2(m-1)\ln 2<2m\ln 2.}$
• ${\displaystyle m>2}$ が奇数とする。 ${\displaystyle m=2l+1}$　とおくと二項定理より

${\displaystyle {\binom {2l+1}{l}}={\frac {1}{2}}\left[{\binom {2l+1}{l}}+{\binom {2l+1}{l+1}}\right]<{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{2l+1}{\binom {2l+1}{k}}={\frac {1}{2}}(1+1)^{2l+1}=4^{l}}$

が成り立つ。

${\displaystyle l+1<p\leq 2l+1}$ となる素数 p はすべて ${\displaystyle \textstyle {\binom {2l+1}{l}}}$

を割り切るので、

${\displaystyle \vartheta (2l+1)-\vartheta (l+1)=\sum _{l+1<p\leq 2l+1}\ln p\leq \ln {\binom {2l+1}{l}}<2l\ln 2.}$

よって

${\displaystyle \vartheta (2l+1)<2l\ln 2+\vartheta (l+1)<2l\ln 2+2(l+1)\ln 2=2(2l+1)\ln 2.}$

以上より、数学的帰納法により上記の不等式が正しいことが証明された。

この議論はベルトラン＝チェビシェフの定理やメルテンスの定理といった、素数に関する評価を初等的に証明する上でも重要な役割を果たす。