メンガーのスポンジ

メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$増加する。

穴を空ける回数を${\displaystyle n}$とすると、その表面積は${\displaystyle 2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}}$と表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。

メンガーのスポンジの次元は3より小さい（2.7268...次元）ため、3次元的な大きさである体積は 0 である。 実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は${\displaystyle {\tfrac {7}{27}}}$ずつ減少するため、穴を空ける回数を${\displaystyle n}$とすると最終的に体積は${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\tfrac {20}{27}}\right)^{n}=0}$となり${\displaystyle 0}$に収束する。

メンガースポンジの厳密な定義は以下である:

${\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}$

ここで${\displaystyle M_{0}}$ は単位立方体で、

${\displaystyle M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i_{1},i_{2},i_{3}\in \{0,1,2\}.(3x-i_{1},3y-i_{2},3z-i_{3})\in M_{n}\\\#\{i_{j}\mid i_{j}=1\}\leqq 1\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.}$