モールの応力円

平面応力状態において座標を (x, y) とし、物体内にはたらく垂直応力がσ_x、σ_y、せん断応力がτであるとき、この座標系に対して角度φだけ傾いた断面にはたらく応力σ'、τ' は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma '&={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\phi +\tau \sin 2\phi ,\\\tau '&={\frac {1}{2}}(\sigma _{y}-\sigma _{x})\sin 2\phi +\tau \cos 2\phi \end{aligned}}}$

で表される。これらの式を組み合わせると、次の式が得られる^[1]：

${\displaystyle \left(\sigma '-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau '^{2}={\frac {(\sigma _{x}-\sigma _{y})^{2}}{4}}+\tau ^{2}}$

これはσ'-τ' 平面上で円の方程式になっており、これをモールの応力円という。

モールの応力円を用いれば、主応力σ₁、σ₂ は円とσ' 軸との交点でのσ' の値となり、主応力面の角度は円上の点 (σ_x, τ) と円の中心を結ぶ線分がσ' 軸となす角の半分で表され、図の上で求めることができる。

より一般的な3軸応力状態の場合、その主応力をσ₁、σ₂、σ₃ とすると、応力円は

• 2点 (σ₁ , 0), (σ₂ , 0) を結ぶ線分を直径とする円
• 2点 (σ₂ , 0), (σ₃ , 0) を結ぶ線分を直径とする円
• 2点 (σ₁ , 0), (σ₃ , 0) を結ぶ線分を直径とする円

の3つが描かれ、任意の断面の応力はこれらの円で囲まれた領域内の点で表される。