ラプラスの方法

関数 f(x) が点 x₀ においてのみ最大値をとると仮定する。数 n に対して、次の関数を考える。

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=nf(x)\\h(x)&=e^{nf(x)}\end{aligned}}}$

点 x₀ において関数 g と h も最大値をとることに注意する。また、このとき

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {g(x_{0})}{g(x)}}&={\frac {nf(x_{0})}{nf(x)}}={\frac {f(x_{0})}{f(x)}}\\{\frac {h(x_{0})}{h(x)}}&={\frac {e^{nf(x_{0})}}{e^{nf(x)}}}=e^{n(f(x_{0})-f(x))}\end{aligned}}}$

である。

数 n が大きくなるにつれて h の比は指数的に大きくなる一方で g の比は変化しない。したがって、関数の積分における支配的な寄与は点 x₀ の近傍における点 x のみから来るため近似ができる。

f(x) は区間 [a, b] 上の二回連続微分可能な関数で、ある点 x₀ ∈ (a, b) でのみ

${\displaystyle f(x_{0})=\max _{a\leq x\leq b}f(x),\quad f''(x_{0})<0}$

を満たすと仮定する。このとき

${\displaystyle \int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx\sim e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n|f''(x_{0})|}}}\qquad (n\to \infty )}$

である^[1]。（ここで ∼ は両辺の比が n → ∞ の極限で 1 に収束することを意味する。）

ラプラスの方法は

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)e^{nf(x)}\,dx\sim g(x_{0})e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n|f''(x_{0})|}}}\qquad (n\to \infty )}$

と書かれることもある。

ラプラスの方法はスターリングの公式

${\displaystyle n!\sim n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )}$

の導出に用いることができる。ガンマ関数の定義から

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{n}\,dt}$

が得られる。変数変換 t = nx を考えると dt = ndx ゆえ

${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=\int _{0}^{\infty }e^{-nx}(nx)^{n}n\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}x^{n}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}e^{n\ln x}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln x-x)}\,dx.\end{aligned}}}$

この積分はラプラスの方法が適用できる形である。いま f(x) = ln x − x とおけば、これは二階微分可能で、

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}-1,\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$

よって関数 f(x) は点 x₀ = 1 でのみ最大値 f(x₀) = −1 をとり、f′′(x₀) = −1 である。したがって

${\displaystyle n!\sim n^{n+1}e^{-n}{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )}$

となる。