ラマヌジャンのタウ函数

タウ関数の最初のいくつかの値は以下の表で与えられる（オンライン整数列大辞典の数列 A000594）：

Ramanujan (1916) は τ(n) の次の3つの性質を観察したが証明はしなかった：

• τ(mn) = τ(m)τ(n) が gcd(m, n) = 1 のとき成り立つ（つまり τ は乗法的関数である）．
• τ(p^{r + 1}) = τ(p)τ(p^r) − p¹¹τ(p^{r − 1}) が p が素数で r > 0 のとき成り立つ．
• |τ(p)| ≤ 2p^11/2 がすべての素数 p に対して成り立つ．

最初の2つの性質は Mordell (1917) によって証明され，ラマヌジャン予想と呼ばれる3つ目は，Deligne により1974年にヴェイユ予想の彼の証明の結果として証明された（具体的には，彼はヴェイユ予想をクガ・サトウ多様体に適用することによって証明した）．

k ∈ Z と n ∈ Z_>0 に対して，σ_k(n) を n の約数の k 乗の和として定義する．タウ関数はいくつかの合同式を満たし，その多くが σ_k(n) を用いて表せる．いくつかを挙げる^[1]：

1. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
2. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
3. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
4. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
5. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3}$^[3]
6. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3}$^[3]
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5}$^[4]
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ for }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7}$^[5]
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7}$^[5]
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.}$^[6]

素数 p ≠ 23 に対して，次が成り立つ^[1][7]：

11. ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}$
12. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}}$^[8]
13. ${\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.}$