リチャーズ式

鉛直一次元のリチャーズ式の導出方法を簡潔に示す。ある体積中の水分量の時間変化と、その体積への水分の流入・流出フラックスの間には、次の連続の方程式が成り立つ。

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\vec {\nabla }}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{{\vec {q}}_{i,\,{\text{in}}}}-\sum _{j=1}^{m}{{\vec {q}}_{j,\,{\text{out}}}}\right)}$

一次元の式で表記すると

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial z}}q}$

ダルシーの法則によれば、水平方向の流れはこのように書ける。

${\displaystyle q=-K{\frac {\partial h}{\partial z}}}$

この q を上式に代入すると

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K{\frac {\partial h}{\partial z}}\right]}$

鉛直方向の流れでは位置水頭が変化するため h = ψ + z を代入して

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}+{\frac {\partial z}{\partial z}}\right)\right]={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}+1\right)\right]}$

これで、リチャーズ式が導かれた。この式は、混合形式のリチャーズ式とも呼ばれる^[2]。