リー環のコホモロジー

G がコンパクト単連結リー群のとき、G はそのリー環によって決定され、したがってそのコホモロジーはリー環から計算できるはずである。これは次のようにしてできる。そのコホモロジーは G 上の微分形式の複体のド・ラームコホモロジーである。これは同変微分形式（英語版）の複体に置き換えることができ、それは今度は適切な微分でリー環の外積代数と同一視できる。外積代数のこの微分の構成は任意のリー環に対して意味をなし、したがってすべてのリー環に対してリー環のコホモロジーを定義するのに使われる。より一般に加群に係数を持つリー環のコホモロジーを定義するために類似の構成を用いる。

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${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ を可換環 R 上のリー環、${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ をその普遍包絡環とし、M を ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ の表現とする（同じことだが ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$-加群とする）。R を ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ の自明表現と考え、コホモロジー群

${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}$

を定義する（Ext の定義は Ext関手を参照）。同じことだが、これらは左完全不変部分加群関手

${\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}}$

の右導来関手である。

同様に、リー環のホモロジーを

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$

と定義でき（Tor の定義は Tor関手を参照）、これは右完全余不変（英語版）関手

${\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}$

の左導来関手と同値である。

リー環のコホモロジーについての重要な基本的な結果の中にはホワイトヘッドの補題（英語版）、ワイルの完全可約性定理（英語版）、レヴィ分解（英語版）定理がある。

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体 k 上のLie環 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ の左 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-加群 M に値を持つリー環コホモロジーはシュバレー・アイレンバーグ複体 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\ast }{\mathfrak {g}},M)}$ を用いて計算できる。この複体の n-コチェインは M に値を持つ n 変数の交代 k-多重線型関数 ${\displaystyle f:\Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M}$ である。n コチェインのコバウンダリは次で与えられる (n + 1)-コチェイン δf である^[1]：

${\displaystyle (\delta f)(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1})+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f([x_{i},x_{j}],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1})\,,}$

ただしキャレットはその引数を除くことを意味する。

0次コホモロジー群は（定義により）加群に作用するリー環の不変加群である：

${\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

1次コホモロジー群は内部微分の空間 Ider を法とした微分の空間 Der である：

${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)}$

ただし微分はリー環から M への写像 d で

${\displaystyle d[x,y]=x\,dy-y\,dx~}$

なるもので、それが内部微分とはそれがある a ∈ M で

${\displaystyle dx=xa~}$

で与えられることをいう。

2次コホモロジー群

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}$

はリー環の加群 M によるリー環の拡大

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

の同値類の空間である。

より高次のコホモロジー群に対しては同様の易しい解釈は無いようである。

• BRST formalism（英語版）（理論物理学）