ルベーグの分解定理

ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。

はじめに、実数直線上のある正則なボレル測度の特異部の分解は、次のように改良できる^[4]。

${\displaystyle \,\nu =\nu _{\mathrm {cont} }+\nu _{\mathrm {sing} }+\nu _{\mathrm {pp} }}$

但し

• ν_cont は絶対連続（absolutely continuous）な部分
• ν_sing は特異連続（singular continuous）な部分
• ν_pp は純点（pure point）の部分（離散測度）

つづいて、絶対連続測度はラドン＝ニコディムの定理によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって（特異連続測度はさておき）ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。カントール測度（実数直線上の確率測度で累積分布関数がカントール関数であるようなもの）は特異連続測度の一例である。

確率過程に対する同様な分解に、次のようなレヴィ＝伊藤分解がある。あるレヴィ過程（英語版） X が与えられたとき、それは次のような三つの独立なレヴィ過程の和 ${\displaystyle X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}}$ に分解される。

• ${\displaystyle X^{(1)}}$ はドリフトを伴うブラウン運動で、絶対連続な部分に対応する；
• ${\displaystyle X^{(2)}}$ は複合ポアソン過程（英語版）で、純点の部分に対応する；
• ${\displaystyle X^{(3)}}$ は自乗可積分な pure-jump マルチンゲールで、有限区間においてほとんど確実に可算個の jumps を持つようなものであり、特異連続な部分に対応する。