ルンゲ＝クッタ法のリスト

上述の埋め込み型方法と同じく、ブッチャー配列に二つの方法が含まれている場合、表で重ねて書かれた下側の段の係数の方法が誤差をコントロールするためのものとなる。

後退オイラー法 は1次の方法である。 この方法は、偏微分方程式である線型拡散方程式の時間方向の離散化に用いた場合には無条件に安定で非振動的な方法である。

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$

陰的中点法は2次方法である。選点法であり、以下のガウス・ルジャンドル法（英語版）の最も簡単な場合である。

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}}$

これらの方法はガウス求積法に基づいた方法であり、高い次数を持つ（s 段ガウス・ルジャンドル法の次数は 2s である）。

4次の方法は以下のブッチャー配列で与えられる^[9]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\end{array}}}$

さらに6次の方法に対応する配列は以下で与えられる^[9]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}}$

Lobatto法^[10] は主に IIIA、 IIIB と IIIC（古典的な文献によって、記号 I と II は二種類のRadau法にのみ使われる）と呼ばれる三種類の方法を指している。方法の名称は Rehuel Lobatto にちなむ。それらの方法はすべて陰的であり、次数 2s-2 を持ち、係数に対し条件 c₁ = 0 と c_s = 1 を満たす。

Lobatto IIIA法 はコロケーション法である。

2次の方法は陰的台形公式として知られ^[11]、以下の配列で与えられる。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

さらに4次の方法は以下の配列で与えられる^[12]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

これらの方法はどれもA-安定であるが、L-安定やB-安定ではない。

Lobatto IIIB法 はコロケーション法ではないけど、非連続的コロケーション法として見ることができる。

2次の方法は以下の配列で与えられる^[13]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

さらに4次の方法は以下の配列であたえられる^[12]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

これらの方法はどれもA-安定であるが、L-安定やB-安定ではない。

Lobatto IIIC法 も非連続的コロケーション法である。

2次の方法は以下の配列で与えられる^[11]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}$

さらに4次の方法は以下の配列で与えられる^[12]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

これらの方法は、すべてL-安定であり、さらに代数的安定（よってB-安定）でもある。そのため、硬い方程式に対する適切な方法である。

Lobatto IIIC*法^[13] は文献によって、Lobatto III法^[14]、ブッチャーのLobatto法やLobatto IIIC法としても知られている。

2次の方法は上述の陽的台形公式にあたり（よって陰的方法ではない）、以下の配列で与えられる^[11]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

さらに4次の方法は以下の配列で与えられる^[12]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\1&0&1&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

これらの方法は、どれもA-安定でも、L-安定でも、B-安定でもない。

上述のLobatto法の係数はすべて一意に定められるため、方法の線型結合も考えられる^[13]。一般的に、3つの実数パラメータ ${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})}$ からなるLobatto係数を以下のようにする。

${\displaystyle a_{i,j}(\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})=\alpha _{A}a_{i,j}^{A}+\alpha _{B}a_{i,j}^{B}+\alpha _{C}a_{i,j}^{C}+\alpha _{C*}a_{i,j}^{C*}}$

但し、

${\displaystyle \alpha _{C*}=1-\alpha _{A}-\alpha _{B}-\alpha _{C}}$

ここで、a A
i,j  はLobatto IIIA法に対するルンゲ＝クッタ行列である。

α_A = 2、α_B = 2、α_C = -1 のとき、対応する方法はLobatto IIID法であり、Lobatto IIINW法とも呼ばれる。

2次の方法は以下の配列であたえられる。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&1/2\\1&-1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

さらに4次の方法は以下の配列であたえられる。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

これらの方法もすべてL-安定であり、さらに代数的安定（よってB-安定）である。

Radau法^[10] は次数 2s-1 を持ち、A-安定である。しかし、方法に対する計算コストが高い以上、方法の次数が落ちるという恐れもある。

Radau IA法の係数 c_i は方程式

${\displaystyle P_{s}(2x-1)+P_{s-1}(2x-1)=0}$

の解である。ここで、P_s は s 次ルジャンドル多項式である。

3次の方法は以下の配列で与えられる^[15]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}$

さらに5次の方法は以下の配列で与えられる^[15]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}}$

Radau IIA法の係数 c_i は方程式

${\displaystyle P_{s}(2x-1)-P_{s-1}(2x-1)=0}$

の解である。

3次の方法は以下の配列で与えられる^[15]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}}$

さらに5次の方法は以下の配列で与えられる^[11]。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {2}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {37}{225}}-{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&-{\frac {2}{225}}+{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\{\frac {2}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {37}{225}}+{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{array}}}$

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