ヴィーンの放射法則

ヴィーンの放射法則（ヴィーンのほうしゃほうそく、英語: Wien's radiation law）、あるいはヴィーンの公式、ヴィーンの分布式とは、熱輻射により黒体から放出される電磁波のスペクトルを与える理論式である。この法則は1896年にヴィルヘルム・ヴィーンによって導かれた^[1]^[2]。短波長（高周波数）領域における近似式であり、ヴィーン近似とも呼ばれる。長波長（低周波数）領域では実験とずれが生じて記述できないが^[2]、全ての波長領域で正しく記述されるようにプランクの法則の形に修正された。英語の発音に基づくウィーンのカナ表記、呼称も用いられる。

内容

ヴィーンの放射法則によれば、熱力学温度 $T$ の熱平衡にある黒体の輻射による波長 $λ$ で表した放射発散度のスペクトルは

$R_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}\,\mathrm {e} ^{-c_{2}/\lambda T}$

で与えられる^[2]。ここで係数 $c 1, c 2$ はそれぞれ第一放射定数、第二放射定数と呼ばれる。波長 $λ$ と周波数 $ν$ の関係 $ν = c / λ$ （ $c$ は光速度）と

$\int _{0}^{\infty }R_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }R_{\nu }(\nu ,T)\,d\nu$

を用いれば、周波数 $ν$ で表したスペクトルは

$R_{\nu }(\nu ,T)={\frac {c_{1}\nu ^{3}}{c^{4}}}\,\mathrm {e} ^{-(c_{2}/c)\nu /T}$

となる^[3]。

分光放射輝度で表せば、波長で表したスペクトルは

$L_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {1}{\pi }}R(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}\,\mathrm {e} ^{-c_{2}/\lambda T}$

となり、周波数で表したスペクトルは

$L_{\nu }(\nu ,T)={\frac {c_{1L}\nu ^{3}}{c^{4}}}\,\mathrm {e} ^{-(c_{2}/c)\nu /T}$

となる。

ヴィーンの着想

ヴィーンは気体と平衡にある空洞輻射を考えることでスペクトル分布を見出そうとした。彼は輻射の波長が気体分子の速度と関係付けられるという仮説をたて、マクスウェルの速度分布において速度を含む項を波長の任意関数で置き換えることでスペクトル分布の関数形を

$\phi _{\lambda }(\lambda ;T)=f_{1}(\lambda )\,e^{-f_{2}(\lambda )/T}$

と仮定した。ヴィーンの変位則から導かれるスペクトル分布に対する制限は

$\phi _{\lambda }(\lambda ;T)=T^{5}F(\lambda T)$

と表わされる。両者を比較することでヴィーンの輻射分布式

$\phi _{\lambda }(\lambda ;T)=C\lambda ^{-5}e^{-c_{2}/\lambda T}$

が見いだされる。

性質

ヴィーンが分布式を導く際に用いた変位則は、シュテファン＝ボルツマンの法則と整合するように導かれている。変位則の式を波長 $λ$ で積分すれば、放射発散度が

$R(T)=\int _{0}^{\infty }R_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }T^{5}f(\lambda T)\,d\lambda =T^{4}\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx$

となるので、ヴィーンの近似形を用いると

$\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {c_{1}}{x^{5}}}\,e^{-c_{2}/x}dx={\frac {c_{1}}{{c_{2}}^{4}}}\int _{0}^{\infty }t^{3}e^{-t}dt$

であり、最後の積分はガンマ関数 $Γ (4)$ であり、収束することが知られているので、シュテファン＝ボルツマン係数が $\sigma =6c_{1}/{c_{2}}^{4}$ と得られる。

ヴィーンの変位則から導かれる主要な帰結であるスペクトルのピーク波長 $λ max = b / T$ の係数 $b$ は、分光発散度を波長による偏微分の零点

$\left.{\frac {\partial R_{\lambda }}{\partial \lambda }}\right|_{\lambda =\lambda _{\text{max}}}=T^{6}f'(\lambda _{\text{max}}T)=T^{6}f'(b)=0$

から得られる。ヴィーンの近似形を用いると

$f'(x)=\left\{{\frac {c_{2}}{x^{2}}}-{\frac {5}{x}}\right\}{\frac {c_{1}}{x^{5}}}\,e^{-c_{2}/x}$

より $b = c 2 /5$ が得られる。

長波長の極限 $λ \to \infty$ ではヴィーンの公式では

$R(\lambda ,T)\sim {\frac {1}{\lambda ^{5}}}$

となる。長波長領域で精度の高い近似であるレイリーの公式では $R \sim 1/ λ 4$ であり、これと整合しない。ヴィーンの公式は長波長領域では実験を正しく記述できていない。

プランクによる修正

ヴィーンの法則は熱輻射のスペクトルを完全に説明する法則として提案されたものであったが、長波長（低周波数）領域のスペクトルで実験を正しく記述することができなかった。その後まもなくマックス・プランクによりプランクの法則の形で修正された。プランクの法則は全ての波長領域で実験を正しく記述することができた。ヴィーンの法則はプランクの法則の極限として導かれる。

プランクの法則によれば、温度 $T$ の熱平衡における分光放射輝度は