不定和分

与えられた函数 f(x) に対し F(x) := ∑_x f(x) が f(x) の不定和分であるとは、F(x) が函数方程式

${\displaystyle \Delta \sum _{x}f(x)=f(x),}$

つまりより直接的に述べれば

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)}$

の解であることを総称して言う。函数 F(x) が与えられた f(x) に対するこの函数方程式の解ならば、周期 1 を持つ任意の周期函数 C(x) に対して f(x) + C(x) もまた同方程式の解である^{[注 2]}から、各不定和分とは実際にはそのような（互いに周期 1 函数だけ異なる）函数の族を表すものと理解される。ただし、解のうちで自身のニュートン級数（英語版）展開と一致するようなものは任意定数 C （和分定数）を加える違いを除いて一意に定まる。

和分定数 C の選び方について、

${\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}$

と置くとき、

${\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)dx=0}$

あるいは

${\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)dx=0}$

を満たすように C を固定することがしばしばある。ラマヌジャン和を用いて書けば、それぞれ

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}$

あるいは

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}$

である^[5][6]。

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微分積分学の基本定理の離散版として、不定和分を用いて定和分の計算ができる^[7]。即ち

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}$

が成り立つ。

部分積分法の離散版として、以下のように部分和分の公式が成り立つ。

不定和分に関する部分和分

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x),}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x).}$

定和分に関する部分和分

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i).}$

周期函数 f(x) の周期が T に対し、

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}$

が成り立つ。また T が函数 f(x) の反周期、即ち f(x + T) = −f(x) のとき、

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C}$

が成り立つ。

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}\Delta ^{k-1}f(x)}{k!}}+C}$

ただし、

${\displaystyle c_{k}=\int _{0}^{1}{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}dx}$

は第二種ベルヌイ数（英語版）^[8]である。

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}f(x)}{k!}}(-x)_{k}+C}$

ただし

${\displaystyle (x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}}$

は下降階乗冪である。

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B_{n}(x)+C.}$

ただし、右辺が存在する場合に限る。

${\displaystyle \lim _{x\to {+\infty }}f(x)=0}$ のとき

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(f(n)-f(n+x))+C}$

が成り立つ^[9]。

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C.}$

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以下、いくつかの函数の不定和分を記す。初等函数の不定和分でも必ずしも初等函数で書けないことに注意。

• ${\displaystyle \sum _{x}a=ax+C,}$
• ${\displaystyle \sum _{x}x={\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+C,}$
• ${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}}+C,\quad (a\notin \mathbb {Z} ^{-}),}$

  ただし、B_a(x) = −aζ(−a+1,x) は次数を実数に一般化したベルヌイ多項式.

• ${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(-a-1)}(x)}{\Gamma (-a)}}+C,\,a\in \mathbb {Z} ^{-}}$

  ただし、ψ⁽ⁿ⁾(x) はポリガンマ函数.

• ${\displaystyle \sum _{x}{\frac {1}{x}}=\psi (x)+C,}$

  ただし、ψ(x) はディガンマ函数.

• ${\displaystyle \sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C,}$

  特に ${\displaystyle \sum _{x}2^{x}=2^{x}+C.}$

• ${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}\Gamma (x)+C,}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(a^{x-1}\Gamma (x))+C.}$

• ${\displaystyle \sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C,}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\coth \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh ax-{\frac {1}{2}}\cosh ax+C,}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C,}$

  ただし、ψ_q(x) は q-ディガンマ函数.

• ${\displaystyle \sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\quad (a\neq n\pi ),}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\cot \left({\frac {a}{2}}\right)\sin ax-{\frac {1}{2}}\cos ax+C\quad (a\neq n\pi ),}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\quad (a\neq {\frac {n\pi }{2}}),}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\quad (a\neq {\frac {n\pi }{2}}),}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\quad (a\neq {\frac {n\pi }{2}}),}$

  ただし、ψ_q(x) は q-ディガンマ函数.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}\tan x&=ix-\psi _{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C\\&=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-z\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+z\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C\end{aligned}},}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\quad (a\neq {\frac {n\pi }{2}}),}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {(-1)^{x}\Gamma \left(-{\frac {1}{a}}\right)\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C,}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {(-1)^{x}\Gamma ({\frac {-i}{a}})\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma ({\frac {i}{a}})\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C.}$

• ${\displaystyle \sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C,}$
• ${\displaystyle \sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C,}$

  ただし、Γ(s,x) は不完全ガンマ函数.

• ${\displaystyle \sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C,}$

  ただし、(x)_a は下降階乗冪.

• ${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)=\ln _{a}{\frac {(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C.}$

(ただし、sexp は超指数函数（英語版）)

• 乗法的不定和分 (Indefinite product)
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