乗法的不定和分

函数 f(x) の乗法的不定和分 F(x) := ∏_x f(x) は、函数方程式

${\displaystyle Q(\prod _{x}f(x))=f(x),}$

あるいはより明示的に

${\displaystyle {\frac {F(x+1)}{F(x)}}=f(x)}$

の解として定義される。与えられた f(x) に対して F(x) がこの函数方程式の解となるならば、任意定数 C に対する CF(x) もまたこの函数方程式の解になる^{[注 3]}。従って乗法的不定和分は実際には（互いに定数倍だけ異なる）函数の族を表しているものと理解される。

• ${\displaystyle \prod _{x}f(x)g(x)=\prod _{x}f(x)\prod _{x}g(x),}$
• ${\displaystyle \prod _{x}f(x)^{a}=\left(\prod _{x}f(x)\right)^{a},}$
• ${\displaystyle \prod _{x}a^{f(x)}=a^{\sum _{x}f(x)}.}$

周期函数 f(x) の周期 T に対して

${\displaystyle \prod _{x}f(Tx)=Cf(Tx)^{x-1}}$

が成り立つ。

基本性質から明らかに、不定和分 ∑_x の言葉を用いて

${\displaystyle \prod _{x}f(x)=\exp \left(\sum _{x}\ln f(x)\right)}$

と書くことができる。ここに exp は自然指数函数、ln は自然対数である。

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幾つか基本的な函数に対する乗法的不定和分の例を挙げる。初等函数の乗法的不定和分が必ずしも初等函数とならないことに注意。以下、Γ(x) はガンマ函数とする。

• ${\displaystyle \prod _{x}a=Ca^{x},}$
• ${\displaystyle \prod _{x}x=C\Gamma (x),}$
• ${\displaystyle \prod _{x}ax=Ca^{x}\Gamma (x),}$
• ${\displaystyle \prod _{x}{\frac {x+1}{x}}=Cx,}$
• ${\displaystyle \prod _{x}{\frac {x+a}{x}}={\frac {C\Gamma (x+a)}{\Gamma (x)}},}$
• ${\displaystyle \prod _{x}x+a=C\Gamma (x+a),}$
• ${\displaystyle \prod _{x}ax+b=Ca^{x}\Gamma \left(x+{\frac {b}{a}}\right),}$
• ${\displaystyle \prod _{x}x^{2}+1=C\Gamma (x-i)\Gamma (x+i),}$
• ${\displaystyle \prod _{x}ax^{2}+bx=Ca^{x}\Gamma (x)\Gamma \left(x+{\frac {b}{a}}\right),}$
• ${\displaystyle \prod _{x}x+{\frac {1}{x}}={\frac {C\Gamma (x-i)\Gamma (x+i)}{\Gamma (x)}},}$
• ${\displaystyle \prod _{x}x^{a}=C\Gamma (x)^{a},}$
• ${\displaystyle \prod _{x}a^{x}=Ca^{{\frac {x}{2}}(x-1)},}$
• ${\displaystyle \prod _{x}a^{\frac {1}{x}}=Ca^{\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}},}$
• ${\displaystyle \prod _{x}x^{x}=Ce^{\zeta ^{\prime }(-1,x)-\zeta ^{\prime }(-1)}=Ce^{\psi ^{(-2)}(x)+{\frac {x^{2}-x}{2}}-{\frac {x}{2}}\ln(2\pi )}=C\operatorname {\mathit {K}} (x).}$

  (ただし、K(x) はK函数である)

• ${\displaystyle \prod _{x}\Gamma (x)={\frac {C\Gamma (x)^{x-1}}{\operatorname {\mathit {K}} (x)}}=C\Gamma (x)^{x-1}e^{{\frac {x}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {x^{2}-x}{2}}-\psi ^{(-2)}(x)}=C\operatorname {\mathit {G}} (x),}$

  (ただし、G(x) はバーンズのG函数である)

• ${\displaystyle \prod _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)={\frac {C(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{\operatorname {sexp} _{a}(x)(\ln a)^{x}}}.}$

  (ただし、sexp は超指数函数である)

• ${\displaystyle \prod _{x}\csc x\sin(x+1)=C\sin x,}$
• ${\displaystyle \prod _{x}\sec x\cos(x+1)=C\cos x,}$
• ${\displaystyle \prod _{x}\cot x\tan(x+1)=C\tan x,}$
• ${\displaystyle \prod _{x}\tan x\cot(x+1)=C\cot x.}$

• 不定和分
• 乗法的積分
• 乗法的微分積分学（英語版）
• 異種微分積分学における導函数と積分函数の一覧