不足角

全ての面が正五角形からなる正十二面体を考える。各頂点においては、正五角形の内角が3つ集まっており、正五角形の内角は108°だから、不足角は 360° − (108° + 108° + 108°) = 36° である。また頂点は全部で20個あるから、不足角の総和は 36° × 20 = 720° である。

他の正多面体についても同様の手順で計算すれば、以下の表を得る。

正多面体	頂点数	1つの頂点に集まる図形	不足角	不足角の総和
正四面体	4	3つの正三角形	${\displaystyle \pi \ (180^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \,}$
正八面体	6	4つの正三角形	${\displaystyle {2\pi \over 3}\ (120^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi }$
立方体	8	3つの正方形	${\displaystyle {\pi \over 2}\ (90^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \,}$
正二十面体	12	5つの正三角形	${\displaystyle {\pi \over 3}\ (60^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \,}$
正十二面体	20	3つの正五角形	${\displaystyle {\pi \over 5}\ (36^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \,}$

不足角におけるデカルトの定理（英: Descartes' theorem on total angular defect）とは、球と位相同型な、つまり穴のない多面体において、不足角の総和は常に 720°（${\displaystyle 4\pi }$）に等しいという定理である（上表も参照）^[1]。

より一般には、多面体のオイラー標数 ${\displaystyle \chi =2-2g}$（ここで g は「穴の数」を表す）を用いて、不足角の総和は ${\displaystyle 2\pi \chi }$ で表される。

これはガウス・ボネの定理においてリーマン多様体が多面体であるときの特殊なケースであり、不足角はその頂点におけるガウス曲率に一致する。このとき多面体中のガウス曲率は頂点に集中しており、辺や面におけるガウス曲率は 0 となっている。

双曲三角形において、その内角の総和を A とすれば、不足角は ${\displaystyle \pi -A}$ で表される。

また球面三角形において、その内角の総和を A とすれば、不足角は ${\displaystyle A-\pi }$ で表される。^{[疑問点 – ノート]}

特筆すべきこととして、これらの三角形の面積はその全不足角^[2]に比例することが示される。