正二十面体

• 正反五角柱の両底面に正五角錐を貼り付けた形である。よって、正二十面体を双五角錐反柱 (Gyroelongated pentagonal bipyramid) と呼ぶ場合がある。
• 向かい合う面は平行である。
• 展開図の数は43,380種類。
• 面の数は20、辺の数は30、頂点の数は12。
• 頂点形状は正五角形であり、5本の辺と5枚の正三角形が集まる。
• 正十二面体と双対である。

一辺の長さをaとすると、

面の面積	${\displaystyle A={1 \over 4}{\sqrt {3}}a^{2}}$
表面積	${\displaystyle S=20A=5{\sqrt {3}}a^{2}}$
体積	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sr={15+5{\sqrt {5}} \over 12}a^{3}}$
最長対角線の長さ	${\displaystyle d={{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}} \over 2}a}$
外接球半径	${\displaystyle R={\frac {d}{2}}={{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}} \over 4}a}$
内接球半径	${\displaystyle r={3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}} \over 12}a}$

以下は、標準的な座標の取り方の一つである。ここで ${\displaystyle \varphi }$ は黄金比 ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 、 ${\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3}=\pm 1}$ である。

12個の頂点（原点からの距離 ${\displaystyle {\sqrt {\varphi +2}}}$）の座標

• ${\displaystyle (0,\epsilon _{2},\epsilon _{3}\varphi )}$ のxyz座標を偶置換した 12個

30個の辺（長さ${\displaystyle 2}$）の、両端点および中心の座標

• 両端点 ${\displaystyle (0,\epsilon _{2},\epsilon _{3}\varphi )}$と${\displaystyle (\epsilon _{1},\epsilon _{2}\varphi ,0)}$、中心 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\epsilon _{1},\epsilon _{2}\varphi ^{2},\epsilon _{3}\varphi )}$ のxyz座標を偶置換した 24個
• 両端点 ${\displaystyle (0,1,\epsilon _{3}\varphi )}$と${\displaystyle (0,-1,\epsilon _{3}\varphi )}$、中心${\displaystyle (0,0,\epsilon _{3}\varphi )}$ のxyz座標を偶置換した 6個

20個の面の、外側から見て反時計回りの頂点列および中心の座標

• 頂点 ${\displaystyle (0,\epsilon _{2},\epsilon _{1}\epsilon _{2}\varphi ),(\epsilon _{1}\varphi ,0,\epsilon _{1}\epsilon _{2}),(\epsilon _{1},\epsilon _{2}\varphi ,0)}$ の4個
• 頂点 ${\displaystyle (0,\epsilon _{2},-\epsilon _{1}\epsilon _{2}\varphi ),(\epsilon _{1},\epsilon _{2}\varphi ,0),(\epsilon _{1}\varphi ,0,-\epsilon _{1}\epsilon _{2})}$ の4個
• 頂点 ${\displaystyle (0,\epsilon _{2},\epsilon _{3}\varphi )}$, ${\displaystyle (0,-\epsilon _{2},\epsilon _{3}\varphi )}$, ${\displaystyle (\epsilon _{2}\epsilon _{3}\varphi ,0,\epsilon _{3})}$ のxyz座標を偶置換した 12個

正二十面体の回転対称性の群 ${\displaystyle I}$ は5文字の交代群 ${\displaystyle A_{5}}$ に同型である。位数は60。この非可換単純群は5文字の対称群 ${\displaystyle S_{5}}$ の唯一の非自明な正規部分群である。一般の五次方程式のガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は冪根による解を有しない。アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。そしてフェリックス・クラインは正二十面体的対称性（英語版）の理論を利用して一般の五次方程式の解析的解法を導く本を書いた (Klein 1888)。詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質（英語版）を見よ。

（鏡映を含めた）正二十面体の全て(full)の対称性の群は全正二十面体群（英語版）^{[訳語疑問点]} ${\displaystyle I_{h}}$ として知られる。位数は120。そしてこれは回転対称群と、正二十面体の中心を通る鏡映によって生成されるサイズ2の群 ${\displaystyle C_{2}}$ との直積 ${\displaystyle A_{5}\times C_{2}}$ に同型である。

また、双対図形である正十二面体の回転の群ならびに対称性の群は、どちらも正二十面体のそれと全く等しい。

正二十面体を枠に持つのは次の立体である。

大十二面体

小星型十二面体

大二十面体

正二十面体と近縁となるジョンソンの立体は次の通りである。

正五角錐反柱	双五角錐柱	双五角錐
双四角錐反柱	二側錐欠損二十面体	三側錐欠損二十面体