交点 (数学) From Wikipedia, the free encyclopedia 交点（こうてん、英: Intersection）は、数学における幾何学的な概念で、2つ以上の曲線、直線、あるいは面などが共通に持つ点のことである。 集合論の観点では、それらの図形を点の集合とみなしたときの積集合（共通部分）に含まれる要素を指す。 もっとも単純な例は、平面上にある2つの平行でない直線の交わりである。この場合、交点は一意に定まる。対象が曲線や曲面になると、交点は複数存在する場合や、一点で接する場合（接点）、あるいは全く存在しない場合がある。 代数幾何学においては、交点の「数」を議論する際に、単に点の個数を数えるだけでなく、接し方の度合いに応じた「重複度」を考慮する。これにより、ベズーの定理などの強力な命題が成立する。 平面幾何における計算 Summarize Timeline Fact Check 2直線の交点 2つの直線が一般形の方程式で以下のように与えられているとする。 L 1 : a 1 x + b 1 y = c 1 {\displaystyle L_{1}:a_{1}x+b_{1}y=c_{1}} L 2 : a 2 x + b 2 y = c 2 {\displaystyle L_{2}:a_{2}x+b_{2}y=c_{2}} これらが平行でない、すなわち 行列式 D = a 1 b 2 − a 2 b 1 {\displaystyle D=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} が 0 でないとき、交点の座標 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} はクラメルの公式を用いて次のように求められる。 x = c 1 b 2 − c 2 b 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 , y = a 1 c 2 − a 2 c 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 {\displaystyle x={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}} 連立方程式と交点 2つ以上の図形の方程式が与えられているとき、その交点を求めることは、それらの方程式を連立方程式として解くことと同義である。集合論的には、各方程式を満たす点集合の共通部分を求める操作にあたる。 代数的な関係 n次元空間において、k個の方程式 { f 1 ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 ⋮ f k ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 {\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\\\vdots \\f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\end{cases}}} が与えられたとき、この連立方程式の解となる値の組 ( p 1 , p 2 , … , p n ) {\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})} が交点の座標を示す。 解が存在しない場合：図形は交点を持たない（平行な直線や、ねじれの位置にある直線など）。 解が有限個の場合：図形は離散的な点として交わる。 解が無限個（不定）の場合：図形の一部または全部が重なっている（一致、あるいは面上の曲線など）。 幾何学的な意味 連立方程式の解の個数は、図形の配置関係を決定する。例えば、円の方程式と直線の方程式から得られる二次方程式の判別式が正であれば、2つの交点を持つことが代数的に証明される。 性質と分類 接点 交点のうち、2つの図形がその場所において共通の接線（あるいは接平面）を持つ場合、その点は特に接点と呼ばれる。 孤立交点 2つの曲線が有限個の点のみを共有する場合。 ねじれの位置 3次元空間において、2つの直線が平行でなく、かつ交点も持たない状態を「ねじれの位置」と呼ぶ。 関連項目 共通部分 (数学) 接点 線型方程式系 ベズーの定理 交差理論 Related Articles
