代数的サイクル

代数多様体、あるいはスキーム X の代数的サイクルは、既約(irreducible)かつ被約な（英語版）(reduced)閉部分スキーム（英語版）(closed subscheme)の形式的線型結合 V = ∑ n_i·V_i である。係数 n_i は V の中での V_i の多重度である。最初は、係数は整数として取られるが、有理数の係数も広く使われる。

対応

{既約かつ被約な閉部分スキーム V ⊂ X} ↭ {X の点}

（V は（ザリスキー位相に関して）生成点（英語版）(generic point)へ写像され、逆に点は（被約な部分スキームをもつ）閉包へ写像され、）従って、代数的サイクルはまさに X の点の形式的な線型結合となる。

サイクルの群は自然に、サイクルの次元による次数をもつ群 Z_*(X) を形成する。余次元による次数も有益で、群は通常 Z^*(X) と書かれる。

代数的サイクルの群の共変な函手が存在する。f : X → X' を多様体の射とする。

f がある定数の相対次元（つまり、全てのファイバーが同じ次元を持っている）で平坦(flat)であれば、任意の部分多様体 Y' ⊂ X' に対し、

${\displaystyle f^{*}([Y'])=[f^{-1}(Y')]\,\!}$

となる（平坦引き戻し(flat pullback)）。上の式は、仮定より、Y′ の同じ余次元を持つ。

逆に、f が固有(proper)であれば、X の部分多様体 Y に対し、固有押し出し(proper pushforward)は、

${\displaystyle f_{*}([Y])=n[f(Y)]\,\!}$

と定義される。ここに n は函数体 [k(Y) : k(f(Y))] の次数とする。ただし、f の Y への制限が有限(finite)の場合であり、f が有限でない場合は n = 0 とする。

線型性により、これらの定義はアーベル群の準同型へ拡張でされる。

${\displaystyle f^{*}\colon Z^{k}(X')\to Z^{k}(X)}$ 　と ${\displaystyle f_{*}\colon Z_{k}(X)\to Z_{k}(X')\,\!}$

はアーベル群の準同型である（これは記法のおかげ）。環構造に関連する函手の議論については、周環（英語版）(Chow ring)を参照。

• Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Third series. A Series of Modern Surveys in Mathematics, 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98549-7, MR1644323 
• Gordon, B. Brent; Lewis, James D.; Müller-Stach, Stefan et al., eds. (2000), The arithmetic and geometry of algebraic cycles: proceedings of the CRM summer school, June 7–19, 1998, Banff, Alberta, Canada, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1954-8