余接定理

図のように a, b, c を3辺の長さ、A, B, C を各頂点とし、α, β, γ を各頂点に対応する角、半周長を s = a + b + c/2, r を内接円の半径とすると、以下の式が成立する。

${\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}}$ (1)

また、r について、

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}$ (2)

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図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。

内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、

${\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,}$（*1）

∴ ${\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {1}{r}}\,}$（1）

他の角においても同様に示される。

また、式（2）については、以下の式を適用する。

${\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.}$

${\displaystyle u={\frac {\alpha }{2}}}$, ${\displaystyle v={\frac {\beta }{2}}}$, ${\displaystyle w={\frac {\gamma }{2}}}$とすると、cot(α/2 + β/2 + γ/2) = cot π/2 = 0より、

${\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).}$

よって、式（*1）より

${\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}$

辺々にr³/sをかけて整理すれば、式（2）が示される。

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余接定理により正接定理が証明される^[2]ほか、以下のように他のいくつかの公式の証明にも適用される。

辺と同様に三角形ABCが3組6個の三角形に分割され、各組の三角形の面積は等しい。例えば、頂点A付近の2個の三角形はともに底辺がs − a、高さr、面積は1/2r(s − a)であり、和はr(s − a)となる（他も同様）。

よって、三角形ABCの面積Sは、$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\&=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs.\end{aligned}}}$$

∴　${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

• 第一公式

和の公式と余接定理より、 $${\displaystyle {\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.}$$

∴　${\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}$

• 第二公式

和の公式と余接定理より、 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}$$

和積公式を適用して整理すれば、

${\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}$