信号関手

信号関手を得る最も簡単な方法は、${\displaystyle G}$ の ${\displaystyle A}$-不変 ${\displaystyle p'}$-部分群 ${\displaystyle M}$ から始めて、すべての非単位元 ${\displaystyle a\in A}$ に対し ${\displaystyle \theta (a)=M\cap C_{G}(a)}$ と定義することである。しかし、一般には ${\displaystyle \theta }$ から始めて、それを用いて ${\displaystyle A}$-不変 ${\displaystyle p'}$-群を構築する方が実用的である。

実際に用いられる最も単純な信号関手は ${\displaystyle \theta (a)=O_{p'}(C_{G}(a))}$ である。

上で定義したように、${\displaystyle A}$ がアーベル群であるため、${\displaystyle \theta (a)}$ は確かに ${\displaystyle G}$ の${\displaystyle A}$-不変 ${\displaystyle p'}$-部分群である。しかし、この ${\displaystyle \theta }$ が均衡条件を満たすことを示すには、いくつかの追加の仮定が必要になる。十分条件の1つは、任意の非単位元 ${\displaystyle a\in A}$ に対して、群 ${\displaystyle C_{G}(a)}$ が可解（または p-可解、あるいは p-束縛）になることである。

この仮定の下での ${\displaystyle \theta }$ の均衡条件の確認は、トンプソンの ${\displaystyle P\times Q}$-補題を用いて行うことができる。

信号関手をより深く理解するには、有限群に関する以下の一般的な事実を知ることが不可欠である：

• ${\displaystyle E}$ を有限群 ${\displaystyle X}$ に作用する非巡回アーベル群とする。${\displaystyle E}$ と ${\displaystyle X}$ の位数は互いに素であると仮定する。
• このとき、${\displaystyle X=\langle C_{X}(E_{0})\mid E_{0}\subseteq E,{\text{ か つ }}E/E_{0}{\text{ は 巡 回 群 }}\rangle }$.

この事実は、シューア・ツァッセンハウスの定理を用いて証明することができる：${\displaystyle X}$ の位数を割り切る任意の素数${\displaystyle q}$ に対して、群 ${\displaystyle X}$ は ${\displaystyle E}$ 不変な Sylow ${\displaystyle q}$-部分群を持つ。これにより、${\displaystyle X}$ が ${\displaystyle q}$-群である場合に帰着する。次に、${\displaystyle X}$ の位数についての帰納法により、${\displaystyle X}$ が基本アーベル群で、${\displaystyle E}$ が既約に作用する場合に帰着する。従って、群 ${\displaystyle E/C_{E}(X)}$ は巡回群でなければならず、結果が従う^[9][10]。

この事実は、可解信号関手定理の証明と応用の両方で用いられる。

例えば、有用な結果の一つとして、${\displaystyle \theta }$ が完備であれば、その完備化は上で定義した群 ${\displaystyle W}$ となることが示される。

上記の事実から導かれるもう一つの結果は、信号関手の完備化がしばしば ${\displaystyle G}$ において正規となることである：

${\displaystyle \theta }$ を ${\displaystyle G}$ 上の完備な ${\displaystyle G}$ 信号関手とする。

${\displaystyle B}$ を ${\displaystyle A}$ の非巡回部分群とする。このとき素な作用という事実と均衡条件から、${\displaystyle W=\langle \theta (a)\mid a\in A,a\neq 1\rangle =\langle \theta (b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle }$ が成り立つ。

これを確かめるため、${\displaystyle \theta (a)}$ が "B"-不変なので、 ${\displaystyle \theta (a)=\langle \theta (a)\cap C_{G}(b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle \subseteq \langle \theta (b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle }$ となることに着目しよう。

上記の等式は素な作用という事実を利用し、包含関係は均衡条件を利用している。さて、${\displaystyle \theta }$ が「同変性」条件を満たすことはよくある。つまり、任意の ${\displaystyle g\in G}$ と非単位元 ${\displaystyle a\in A}$ に対して、${\displaystyle \theta (a^{g})=\theta (a)^{g}\,}$ が成り立つ。ここで、上付き文字は ${\displaystyle g}$ による共役を表す。例えば、上記に示した信号関手の例である写像 ${\displaystyle a\mapsto O_{p'}(C_{G}(a))}$ はこの条件を満たす。

もし ${\displaystyle \theta }$ が同変性を満たすならば、${\displaystyle B}$ の正規化群は ${\displaystyle W}$ を正規化する。したがって、 ${\displaystyle G}$ が ${\displaystyle A}$ の非巡回部分群たちの正規化群によって生成されるならば、${\displaystyle \theta }$ (従って ${\displaystyle W}$) の完備化は ${\displaystyle G}$ において正規となる。