有限単純群の分類

分類定理は数学の多くの分野において応用がある。 有限群（また他の数学的対象に対するそれらの作用）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。 分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。

1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。

以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。

クラス	表記	位数	例外	重複
素数位数の巡回群	Cp, Zp	p	なし	なし
交代群	An (n > 4)	${\displaystyle {\frac {n!}{2}}}$	なし	A5 ≃ A1(4) ≃ A1(5) A6 ≃ A1(9) A8 ≃ A3(2)
リー型の群
クラス	表記	位数	例外	重複
古典的シュヴァレー群	An(q)	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)}$	A1(2)[注釈 1], A1(3)[注釈 2]	A1(4) ≃ A1(5) ≃ A5 A1(7) ≃ A2(2) A1(9) ≃ A6 A3(2) ≃ A8
	Bn(q) (n > 1)	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	B2(2)[注釈 3]	Bn(2m) ≃ Cn(2m) B2(3) ≃ 2A3(22)
	Cn(q) (n > 2)	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	なし	Cn(2m) ≃ Bn(2m)
	Dn(q) (n > 3)	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	なし	なし
例外的シュヴァレー群	E6(q)	${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)}$	なし	なし
	E7(q)	${\displaystyle {\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)}$	なし	なし
	E8(q)	${\displaystyle q^{120}\prod _{i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right)}$	なし	なし
	F4(q)	${\displaystyle q^{24}\prod _{i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right)}$	なし	なし
	G2(q)	${\displaystyle q^{6}\prod _{i\in \{2,6\}}\left(q^{i}-1\right)}$	G2(2)[注釈 4]	なし
古典的スタインバーグ群	2An(q2) (n > 1)	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)}$	2A2(22)[注釈 5]	2A3(22) ≃ B2(3)
	2Dn(q2) (n > 3)	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	なし	なし
例外的スタインバーグ群	2E6(q2)	${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right)}$	なし	なし
	3D4(q3)	${\displaystyle q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}$	なし	なし
鈴木群	2B2(q) q = 22n + 1 n≥ 1	${\displaystyle q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right)}$	なし	なし
李群[注釈 6]	2F4(q) q = 22n + 1 n≥ 1	${\displaystyle q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}$	2F4(2)[注釈 7]	なし
	2G2(q) q = 32n + 1 n≥ 1	${\displaystyle q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}$	なし	なし
ティッツ群[注釈 8]	2F4(2)'	212(26 + 1)(24 − 1)(23 + 1)(2 − 1)/2 = 17971200
散在型の群
クラス	表記	位数
マシュー群	M11	7920
	M12	95040
	M22	443520
	M23	10200960
	M24	244823040
ヤンコ群	J1	175560
	J2	604800
	J3	50232960
	J4	86775571046077562880
コンウェイ群	Co3	495766656000
	Co2	42305421312000
	Co1	4157776806543360000
フィッシャー群	Fi22	64561751654400
	Fi23	4089470473293004800
	Fi24'	1255205709190661721292800
ヒグマン＝シムズ群	HS	44352000
マクラハラン群	McL	898128000
ヘルド群	He	4030387200
ルドヴァリス群	Ru	145926144000
散在型鈴木群	Suz	448345497600
オナン群	O'N	460815505920
原田＝ノートン群	HN	273030912000000
ライオンズ群	Ly	51765179004000000
トンプソン群	Th	90745943887872000
ベビーモンスター群	B	4154781481226426191177580544000000
モンスター群 （フィッシャー＝グリース・モンスター群）	M	808017424794512875886459904961710757005754368000000000

位数の小さなものから20個を以下に列挙する。^[3][4]

Gorenstein (1982, 1983) は2巻からなる証明の低階数（英語版）および奇数標数パートの要点を著し、 Michael Aschbacher, Richard Lyons, and Stephen D. Smith et al. (2011) は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。 この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る:

以下のリストは多くが Solomon (2001) より取られている。 年は一般に結果の完全な証明が成された出版日とする。^{[注釈 9]}

ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。

• 最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
• アティヤなどは、この分類は、幾何学的対象上の群の作用を構築し、それらの幾何学的構造を分類することにより単純化されるだろうと提案している。この問題は、単純群と関連するような幾何学的構造を発見するための簡単な方法を、誰も与えられるようにはなっていないということである。BN対のような幾何学的構造を発見することによりこの分類は機能する。しかしそれが叶うのは、有限単純群の構造のとても長く困難な解析の果てになるだろう。
• 証明の簡略化ため、群の表現論をより一層利用しようという提案もある。しかし表現論は、群の部分群についてとてもタイトなコントロールを必要とすると言う問題がある。低い階数の群については、そのようなコントロールと表現論はとてもよく働く。しかし高い階数をもつ群については、表現論を用いて分類を単純化することには誰も成功しない。分類作業の初期においては、表現論を用いた努力も相当なされた。しかし高い階数においては、その試みは決して成功しなかった。

この説では、有限単純群の分類を用いて証明された結果を並べる。

• シュライエル予想（英語版）
• 信号関手定理
• B予想（英語版）
• 全ての群に関するシューア・ツァッセンハウスの定理（これはファイト・トンプソンの定理のみを用いて）
• 1より多くの元をもつ有限集合上の可移置換群が、素数位数の固定点自由な元を持つこと。
• 2重可移置換群（英語版）の分類
• 階数3置換群（英語版）の分類
• シムス予想 (Sims conjecture)
• xⁿ=1 の解の個数におけるフロベニウス予想（英語版）