修正ノード解析

MNAは、各素子がどのようなブランチを構成するかを表す方程式（branch constitutive equations, BCEs）、すなわち各素子の電圧-電流特性（VI特性）と、Kirchhoffの法則を利用する。この手法は4段階で行われることが多いが^[3]、3段階に減らすこともできる。

手順1

Kirchhoffの電流則を、回路の各ノードについて適用する。ここで、MNAにおいては、理想電圧源に対して電流を定めるとき、正極から負極に流れるように取ることに注意（図1参照）。また、ノードに入る電流を負、ノードから出る電流を正とすることで、各方程式の右辺を常に0としておく。

手順2

なるべく多くのブランチ電流を、ノード電圧と各素子のVI特性を用いて表す。（ノード電圧を用いることで、1ステップ削減されている。ブランチにかかる電圧を使うと、それをノード電圧に変換するというステップが追加される。）なお、本記事では、ノード電圧を表すのに"e"を、ブランチにかかる電圧を"V"を用いて表すことにする。

手順3

最後に、未使用の方程式を書き加える。（訳注：例えば、電圧源の電圧は、手順1、手順2で使用されていないため、この段階で書き加えます。）

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図1は、RCを直列に接続した負荷に対して理想電圧源を接続した回路を示している。また、表1は、抵抗とキャパシタのVI特性を示している。ここで、抵抗のVI特性を示すのにアドミタンスを使用していることに注意。

表1 各素子のVI特性

素子	VI特性
抵抗	${\displaystyle I_{R}=GV_{R}}$
キャパシタ	${\displaystyle I_{C}=C{\frac {dV_{C}}{dt}}}$

それでは、先述の手順に従って計算する。

手順1

この回路の場合、ノードは${\displaystyle e_{1}}$と${\displaystyle e_{2}}$の2つである。また、ブランチ電流は、${\displaystyle i_{V_{\mathrm {s} }}}$、${\displaystyle i_{R}}$、${\displaystyle i_{C}}$の3つである。Kirchhoffの電流則を用いて方程式を立てるのだから、未知数が3つであることに注意。

ノード${\displaystyle e_{1}}$、ノード${\displaystyle e_{2}}$のそれぞれについて、Kirchhoffの電流則は次式の通り：

${\displaystyle i_{V_{\mathrm {s} }}+i_{R}=0}$

${\displaystyle -i_{R}+i_{C}=0}$

手順2

抵抗のあるブランチと、キャパシタのあるブランチのそれぞれにかかっている電圧は、次式のように表される：

${\displaystyle V_{R}=e_{1}-e_{2}}$

${\displaystyle V_{C}=e_{2}}$

上式のように表された${\displaystyle V_{R}}$、${\displaystyle V_{C}}$と、表1によって与えられる各素子のVI特性を利用すると、手順1で立てた方程式は次式のように書き換えられる：

${\displaystyle i_{V_{\mathrm {s} }}+G(e_{1}-e_{2})=0}$

${\displaystyle -G(e_{1}-e_{2})+C{\frac {\mathrm {d} e_{2}}{\mathrm {d} t}}=0}$

手順3

現段階で、未知数3つに対して方程式が2つしか立っていないことに注意。これは、電圧源による電圧を条件として導入していなかったからである：

${\displaystyle e_{1}=V_{\mathrm {s} }}$

以上で、3つの未知数に対して3つの方程式が得られた。これらの3つの式を連立すれば、3つの未知数を求めることができる。

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&i_{V_{S}}\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }}$というベクトルを定義すれば、上記の方程式は${\displaystyle E\mathbf {x} '+A\mathbf {x} =\mathbf {f} }$の形にかける。ここで、${\displaystyle E}$、${\displaystyle A}$、${\displaystyle f}$は

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}G&-G&1\\-G&G&0\\1&0&0\end{pmatrix}},E={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&C&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\mathbf {f} ={\begin{pmatrix}0\\0\\V\mathrm {s} \end{pmatrix}}}$

これは、線形微分代数方程式（DAE）となっている。なぜなら、${\displaystyle E}$に逆行列が存在しないからである。また、抵抗、インダクタ、キャパシタのみが用いられている回路であれば、MNAによって導出されるDAEに含まれる導関数は高々2階である^{[4][要文献特定詳細情報]}。オペアンプなどの能動素子を用いると、DAEに含まれる導関数の階数が2階よりより高くなる場合がある^[5]。