全確率の法則

全確率の法則の主張することは、 ${\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}$ を有限または可算無限集合とした時、${\displaystyle B_{n}}$ が相互排他的かつ網羅的な事象群であれば、任意の事象 ${\displaystyle A}$ に対して

$${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})}$$

が成立するということである。^[1]同じことは

$${\displaystyle P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C,B_{n})P(B_{n})}$$

と表すこともできる。^[1]なお、ある ${\displaystyle n}$ について ${\displaystyle P(B_{n})=0}$ が成立すれば、${\displaystyle P(A\mid B_{n})}$ が有限であるのでそれの項は単純に総和から除かれる。

この総和は加重平均とみなすことができ、その視点で周辺確率 ${\displaystyle P(A)}$ を「平均確率(英: average probability)」と呼ぶことがある。^[2]より非公式な文章では「全体的な確率(英: overall probability)」も時々使用される。^[3]

全確率の法則は条件付き確率に対しても適用できる:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P({A\mid C})&={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}{P({A,{B_{n}},C})}}{P(C)}}\\[2ex]&={\frac {\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}\\[2ex]&=\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle B_{n}}$ を上のようにとり、かつ ${\displaystyle C}$ がどの ${\displaystyle B_{n}}$ とも 独立であるとすれば、次のようにも表せる:

$${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n})}$$

Summarize Timeline Fact Check

全確率の法則は、連続確率変数によって生成される事象を条件とする場合にも適用される。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ を確率空間とし、${\displaystyle X}$ を分布関数 ${\displaystyle F_{X}}$をもつ確率変数、${\displaystyle A}$ を ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ 上の事象とする。すると、全確率の法則の主張は

$${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF_{X}(x)}$$

となる。さらに、${\displaystyle X}$ が密度関数 ${\displaystyle f_{X}}$ を持つとすれば、

$${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f_{X}(x)dx}$$

となる。加えて、ボレル集合 ${\displaystyle B}$ を用いて ${\displaystyle A=\{Y\in B\}}$ とできる状況では、主張は次のようになる:

$${\displaystyle P(Y\in B)=\int _{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f_{X}(x)dx}$$