再生性

分布族${\displaystyle \mathbb {F} }$を考える。

任意の確率分布${\displaystyle F_{1},F_{2}\in \mathbb {F} }$に対して、F_iに従う互いに独立な確率変数をX_iとおく (${\displaystyle i=1,2}$) 。これを${\displaystyle X_{i}\sim F_{i}}$と書く（以下同様）。

このとき、${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$の確率分布Fが${\displaystyle F\in \mathbb {F} }$を満たすならば、分布族${\displaystyle \mathbb {F} }$は再生性を持つという。

ある分布族が再生性を持つということは、その分布族が畳み込み演算について閉じていることを意味する。

以下で用いられる2つの確率変数 X₁, X₂ は互いに独立であると仮定する。

正規分布

${\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{N}}(\mu _{i},\ \sigma _{i}^{2})\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\ \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$

コーシー分布

コーシー分布に従う2つの確率変数の和は、再びコーシー分布に従う。

ガンマ分布

${\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{Gamma}}(k_{i},\theta )\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{Gamma}}(k_{1}+k_{2},\ \theta )}$

尺度母数 θ が異なる場合は当てはまらない。

特に k₁, k₂ が整数である場合はアーラン分布を表し、このことからアーラン分布も再生性を持つことが分かる。同様に、k₁, k₂ が半整数である場合はカイ二乗分布に相当し、同様に再生性を持つ。

二項分布

${\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{B}}(n_{i},p)\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{B}}(n_{1}+n_{2},\ p)}$

確率 p が異なる場合は当てはまらない。

負の二項分布

${\displaystyle X_{i}\thicksim {\mbox{NB}}(\alpha _{i},p)(i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\thicksim {\mbox{NB}}(\alpha _{1}+\alpha _{2},p)}$

確率 p が異なる場合は当てはまらない。

ポアソン分布

${\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{Po}}(\lambda _{i})\ (i=1,2)\ \longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{Po}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$

カイ二乗分布

${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{n}^{2},X_{2}\sim \chi _{m}^{2}\ (n,m\in \mathbb {N} )\ \longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim \chi _{n+m}^{2}}$

• 安定分布