ガンマ分布

ガンマ分布は、確率密度関数が形状母数（英語版） k > 0, 尺度母数 θ > 0 を用いて

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\theta }\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0}$

で定義される分布である。ここで、Γ(k) はガンマ関数である。

等価な定義として、パラメータ λ = 1/θ を用いて次のように表されることもある。

${\displaystyle f(x)={\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0}$

このとき、ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(u)\,du={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}}$

ここで γ は不完全ガンマ関数である。

ガンマ分布の確率変数を X とするとき、平均 E(X) および分散 V(X) は次のように表される。

${\displaystyle E(X)=k\theta ={\frac {k}{\lambda }}}$

${\displaystyle V(X)=k\theta ^{2}={\frac {k}{\lambda ^{2}}}}$

ガンマ分布の確率変数を X とするとき、特性関数 φ_X(t) は

${\displaystyle \phi _{X}(t)=E(e^{iXt})={\frac {1}{(1-i\,\theta \,t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{k}}$

で与えられる。

これはパラメータ（平均）θ とする指数分布の特性関数を k 乗したものに一致する。このことは、特に k を整数としたときに、パラメータ θ の指数分布に従う k 個の確率変数が独立であるとき、その和が形状母数 k、尺度母数 θ のガンマ分布に従うことを表している。

ガンマ分布は再生性を有する。すなわち、パラメータに形状母数 k₁ と尺度母数 θ を持つガンマ分布の確率変数を X₁、パラメータに形状母数 k₂ と尺度母数 θ を持つガンマ分布の確率変数を X₂ とするとき、確率変数の和 X₁ + X₂ は、形状母数 k₁ + k₂、尺度母数 θ のガンマ分布に従う。

以下の分布はガンマ分布の特別な場合である。

指数分布

特に k = 1 である場合、このガンマ分布は尺度母数（平均値）を θ とする指数分布に帰着する。

アーラン分布

k が整数である場合、このガンマ分布はアーラン分布に帰着する。また、尺度母数（平均値）に θ を持つ互いに独立な n 個の指数分布の和は、パラメータに形状母数 n と尺度母数 θ を持つガンマ分布（アーラン分布）となる。

カイ二乗分布

k = n/2 (n = 1, 2, …) かつ θ = 2 である場合、ガンマ分布は自由度 n のカイ二乗分布に帰着する。

• 確率分布
• 指数分布
• アーラン分布
• カイ二乗分布
• 逆ガンマ分布
• 一般化ガンマ分布（英語版）