負の二項分布

負の二項分布は、文献によって異なった意味で使われることがある。

1. 統計的に独立なベルヌーイ試行を続けて行ったときに、r 回の成功をする前に失敗した試行回数の分布。成功と失敗の定義は逆になることもある。
2. 同様に、統計的に独立なベルヌーイ試行を続けて行ったとき、r 回の成功を得るのに必要な試行回数の分布。
3. 数学的に、1番目の意味でのベルヌーイ試行の r を整数から実数に拡張して考えるもの。

負の二項分布は、2つのパラメータを持つ。成功回数を表す定数 r と、おのおのの試行で成功する確率 p である。r は正の整数で、p は 0 から 1 までの実数である。r = 1 であるときは、幾何分布になる。普通は r を正の整数とするが、数学的な拡張から、r を整数と扱わないこともある。

上記のように3つの意味があるので、ここでは最初の意味に絞って解説する。最初の意味では、負の二項分布とは、おのおのの試行で成功する確率が p である独立なベルヌーイ試行を続けて行ったとき、r 回の成功をするまでに失敗する回数の分布であった。

確率質量関数

r 回の成功までに k 回の失敗が起こる確率。これは、最初の ${\textstyle k+r-1}$ 回の試行のうち ${\textstyle r-1}$ 回の成功と、${\textstyle k}$ 回目の試行が失敗することを意味するので

${\displaystyle {\begin{aligned}f(k;r,p)&=\Pr(X_{\mathrm {NB} (r,p)}=k)\\&={k+r-1 \choose k}p^{r-1}(1-p)^{k}p\\&={k+r-1 \choose k}p^{r}(1-p)^{k}\end{aligned}}}$

累積分布関数

r 回の成功までに、k 回以下の失敗が起こる確率。これは最初の ${\textstyle k+r}$ 回の試行のうち ${\textstyle k}$ 回以下が失敗することと同値なため、二項分布に帰着する。二項分布 ${\textstyle B(n,p)}$ の累積分布関数は正規化された不完全ベータ関数を使い ${\textstyle I_{1-p}(n-k,k+1)}$ と書けるので

${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;r,p)&=\Pr(X_{\mathrm {NB} (r,p)}\leq k)\\&=\Pr(X_{\mathrm {B} (k+r,p)}\leq k)\\&=I_{p}(r,k+1)\end{aligned}}}$

期待値

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathrm {NB} (r,p))={\frac {r}{p}}-r={\frac {r(1-p)}{p}}}$

分散

${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathrm {NB} (r,p))={\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$.

• ベルヌーイ過程