写像度

円周 S¹上の連続写像 f : S¹ → S¹について、f の像が S¹を(向きを込めて)何重に被覆するかを考える。 例えば、 S¹ を絶対値 1 の複素数の集合（群）とみなしたとき、z を z^k にうつす写像は S ¹ を k 重に被覆する。 このように、写像 f が S¹ を k 重に被覆するとき、f の写像度が k である、という。 このとき、 f を連続変形しても写像度は変化しないことがわかる。

n 次元球面 Sⁿ上の連続写像 f : Sⁿ → Sⁿ や、もっと一般に n 次元多様体 M, N の間の連続写像 f : M → N についても同じように写像度を定義することができる。

弧状連結で、向き付け可能な n 次元多様体 X の n 次ホモロジー群 H_n(X) は整数群 Z と同型であり、ひとつの生成元から生成される無限巡回群である。生成元となりうる元は ± の二つ存在するが、 X に向きを付けると、 どちらが + であるかを定める。 つまり、H_n(X) の生成元を定めることになる。この生成元を（向き付けられた）X の基本ホモロジー類といい、 [X] と書く。

コンパクト、弧状連結で向きのついたn 次元多様体 M, N と連続写像 f : M → N が与えられたとする。 f から誘導される準同型

${\displaystyle f_{*}:H_{n}(M)\rightarrow H_{n}(N)}$

について、

${\displaystyle ^{\exists 1}k\in \mathbb {Z} \ f_{*}([M])=k[N]}$

である。このとき、f の写像度 deg f を k で定義する。

M, N ともになめらかな多様体で 、f がなめらかな写像であった場合、 deg f を上の定義とは違う方法で計算できる。

M, N はコンパクトな多様体であるので、 任意の f の正則値 y について、 y の逆像 f ^-1(y) は有限集合である。よって、正則値 y に対して整数

${\displaystyle d(y):=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\operatorname {sign} df_{x}}$

を定義することができる。ただし、df_x は f の x における微分、 sign df_x は df_x （を行列としてみたとき）の行列式の符号^[1]である。

このように定義すると、 任意の正則値 y について d(y) は deg f と等しい。

• 写像 f と g がホモトピックであれば、 deg f = deg g である。
• N = Sⁿ であれば、写像 f と g がホモトピックであることと deg f = deg g であることは同値である（ホップの定理）。

S¹ → S¹ の写像は S¹ × S¹、つまりトーラス上にグラフを描くことができる。下の図は、それぞれ写像度 -4, 0, 3の写像のグラフである。