冪零イデアル

• 剰余環 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ のイデアル ${\displaystyle p^{i}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ (${\displaystyle i>0}$) はすべて冪零である。
• 2次の全行列環 ${\displaystyle M_{2}(R)}$ のイデアル ${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&R\\0&0\end{bmatrix}}}$ は冪零である。

冪零元イデアルの概念は冪零イデアルの概念と深いつながりをもち、環のあるクラスにおいて、2つの概念は一致する。イデアルが冪零であれば、もちろん冪零元イデアルであるが、冪零元イデアルは2つ以上の理由で冪零とは限らない。1つには、冪零元イデアルのいろいろな元を零化するのに要求される指数の大域的な上界が存在する必要はないことであり、2つには、各元が冪零であることは相異なる元の積が消えることを強制しない^[1]。

右アルティン環において、任意の冪零元イデアルは冪零である^[4]。これは次のことを観察することによって証明される。任意の冪零元イデアルは環のジャコブソン根基に含まれ、（アルティン性の仮定より）ジャコブソン根基は冪零イデアルであるから、結果が従う。実は、これは右ネーター環に一般化することができる。この結果はレヴィツキの定理（英語版）として知られている^[3]。