分離多元環
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K を体とする。K 上の結合多元環 A が分離的であるとは、すべての拡大体 L/K に対して多元環 A⊗KL が半単純であることをいう[1]。
分離多元環の分類定理がある：分離多元環は有限次元可除環であって、その中心が K の有限次元分離拡大であるものの全行列多元環の有限積に同型である。とくに分離多元環は有限次元である。もし K が完全体——たとえば標数0、有限体、あるいは代数的閉体——ならば K のすべての拡大は分離的である。その結果、K が完全体ならば、分離多元環は有限次元可除環の全行列多元環の有限積に同型である。 つまり、K が完全体ならば、分離多元環と有限次元半単純多元環に違いはない（ウェダーバーンの定理も参照）。
分離多元環にはいくつかの同値な特徴づけがある。第一に、多元環 A が分離的である必要十分条件はその包絡多元環[2] Ae = A ⊗K Aop の元
- p = ∑n
i=1 xi ⊗ yi
が存在して、
- ∑n
i=1 xi yi = 1A と ap = pa (∀ a ∈ A)
を満たすことである。そのような元 p は p2 = p を満たすので分離べき等元(英: separability idempotent)と呼ばれる。
第二に、多元環 A が分離的である必要十分条件は通常の方法で左 Ae 加群と見たとき射影的であることである[3]。
第三に、多元環 A が分離的である必要十分条件は通常の（しかしあまり標準的ではない）方法で右 Ae 加群と見たとき平坦であることである。詳細は Aguiar (2000) を参照。
分離多元環が強分離的[訳語疑問点](英: strongly separable)であるとは、「対称な」分離べき等元
- e = ∑n
i=1 xi ⊗ yi = ∑n
i=1 yi ⊗ xi
が存在するこという。多元環が強分離的である必要十分条件はそのtrace formが非退化であることであり、したがって多元環はフロベニウス多元環の一種になる。
可換分離多元環
体の拡大 L/K において、L が K 上の結合多元環として分離的である必要十分条件は、体 K の拡大として分離的であることである。L/K が原始元 a を持ち、その最小多項式を L 上で p(x) = (x − a) ∑n−1
i=0 bi xi と書けば、その分離べき等元は ∑n−1
i=0 ai ⊗ bi/p′(a) で与えられる。このテンソル積の因子は跡写像に対する双対基底である。すなわち、σ1, …, σn を L から K の代数閉包の中への相異なる K-単準同型の全体とすれば、L から K の中への跡写像 Tr は Tr(x) ≔ ∑n
i=1 σi(x) で定義される。この跡写像とその双対基底は、L を陽に K 上のフロベニウス多元環にする。