力の平行四辺形

準備: 速度の平行四辺形

与えられた時間（例えば1秒）で粒子がAからBへの線（図2）に沿って一定の速度で移動し、同時に線ABがABの位置からDCの位置に一様に移動し、終始元の方向と平行なままであるとする。両方の運動を考慮すると、粒子は線ACをたどる。与えられた時間内の変位は速度の尺度なので、ABの長さはABに沿った粒子の速度の尺度であり、ADの長さはADに沿った線の速度の尺度であり、ACの長さはACに沿った粒子の速度の尺度である。粒子の運動はACに沿って単一の速度で移動した場合と同じである^[1]。

力の平行四辺形のニュートンの証明

図1の原点（ベクトルの「尾」）にある粒子に2つの力が作用したとする。ベクトルF₁とF₂の長さは2つの力がある時間作用することにより粒子に生じる速度を表し、それぞれの方向はそれが作用する方向を表している。それぞれの力は独立に作用し、他の力が作用するかしないかにかかわらず特定の速度を作り出す。与えられた時間の終わりでは、粒子は両方の速度を持っている。上記の証明により、これは1つの速度F_netと等価である。ニュートンの第2法則により、このベクトルはその速度を生み出す力の尺度でもあり、したがって、2つの力は1つの力と等価である^[2]。

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力をユークリッドベクトルもしくは${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。すなわち、任意の2つの力${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$に対して、${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$が存在する。 最後の仮定は2つの力の合力が回転しても変化しないことである。${\displaystyle R:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$を任意の回転（${\displaystyle \det R=1}$である${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$の通常のベクトル空間構造の任意の直交写像）とすると、任意の力${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$に対し${\displaystyle R}$は

$${\displaystyle R\left(\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \right)=R\left(\mathbf {F} \right)\oplus R\left(\mathbf {G} \right)}$$

を満たす。2つの力${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$と${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$は垂直で、${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$の長さを${\displaystyle a}$、${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$の長さを${\displaystyle b}$、および${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$の長さを${\displaystyle x}$と仮定する。 ${\displaystyle \mathbf {G} _{1}:={\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)}$および${\displaystyle \mathbf {G} _{2}:={\tfrac {a}{x}}R(\mathbf {F} _{2})}$として、${\displaystyle R}$を${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$と${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$の間の回転とすると${\displaystyle \mathbf {G_{1}} ={\tfrac {a}{x}}R\left(\mathbf {F} _{1}\right)}$である。回転が不変の下では

$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {x}{a}}R^{-1}\left(\mathbf {G} _{1}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}}$$

を得る。同様に、さらに2つの力${\displaystyle \mathbf {H} _{1}:=-\mathbf {G} _{2},\quad \mathbf {H} _{2}:={\tfrac {b^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)}$を考える。${\displaystyle T}$を${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$から${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$への回転とすると${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{1}\right)}$であり、これにより${\displaystyle \mathbf {H} _{2}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{2}\right)}$となる。

$${\displaystyle \mathbf {F} _{2}={\frac {x}{b}}T^{-1}\left(\mathbf {H} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} }$$

これら2つの方程式より

$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} \right)=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(-\mathbf {G} _{2}\oplus \mathbf {H} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}}$$

を得る。${\displaystyle \mathbf {G} _{1}}$と${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$はどちらも${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$に沿っているため、長さ${\displaystyle x}$は${\displaystyle \left|\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right|=\left|\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}\right|={\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{x}}}$に等しく、

$${\displaystyle x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$$

である。このことは${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}}$が長さ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$を持ち、これは${\displaystyle a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}}$の長さであることを示している。したがって、${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$と${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$が垂直である場合、${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}}$である。ここで、2つの補助の力を組み合わせるとき、${\displaystyle \oplus }$の結合性を用いた。以下の証明にもこの追加の仮定を使用する^{[3] [4]}。

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力をユークリッドベクトルもしくは${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。そのため、2つの力${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$には、別の力${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$が存在する。可換性を仮定する。これらは同時に加えられる力なので、順序は重要ではなく、${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} =\mathbf {G} \oplus \mathbf {F} }$である。

写像 $${\displaystyle (a,b)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}\mapsto a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}}$$ を考える。 ${\displaystyle \oplus }$が結合的であるならば、この写像は線形である。${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$を${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$に、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$を${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$に写すため、恒等写像である必要もある。よって${\displaystyle \oplus }$は通常のベクトル加算演算子と同等でなければならない^[3][5]。

力の平行四辺形の数学的証明は、数学的に妥当であると一般に認められていない。さまざまな証明が開発され（主にDuchaylaとポアソンのもの）、これらも反論を引き起こした。力の平行四辺形が真実であるかどうかは疑問視されなかったが、なぜ真実であったのであろうか。今日、力の平行四辺形は経験的事実として受け入れられており、ニュートンの第1原理に還元することはできない^[3][6]。