単位法

以下の単位法公式の表は、Beemanの『Industrial Power Systems Handbook』を基に構成されている。

式
基準値の選択
	オームの法則から2つの基準値（基準電圧と基準電流）を任意に選択する場合
1	${\displaystyle {\text{Z}}={\frac {E}{I}}}$
2	${\displaystyle {\text{基準オーム}}={\frac {\text{基準ボルト}}{\text{基準アンペア}}}}$
3	${\displaystyle {\text{単位法ボルト}}={\frac {\text{ボルト}}{\text{基準ボルト}}}}$
4	${\displaystyle {\text{単位法アンペア}}={\frac {\text{アンペア}}{\text{基準アンペア}}}}$
5	${\displaystyle {\text{単位法オーム}}={\frac {\text{オーム}}{\text{基準オーム}}}}$
	あるいは、基準電圧と基準kVA値を選択する場合
	単相システム：
6	${\displaystyle {\text{基準アンペア}}={\frac {{\text{基準kVA}}\cdot 1000}{\text{基準ボルト}}}}$
7	${\displaystyle {\text{基準アンペア}}={\frac {\text{基準kVA}}{{\text{基準kV}}*{L-L}}}}$
8	${\displaystyle {\text{基準オーム}}={\frac {\text{基準ボルト}}{\text{基準アンペア}}}}$
	三相システム：
9	${\displaystyle {\text{基準アンペア}}={\frac {{\text{基準kVA}}\cdot 1000}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{基準ボルト}}}}}$
10	${\displaystyle {\text{基準アンペア}}={\frac {\text{基準kVA}}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{基準kV}}*{L-L}}}}$
11	${\displaystyle {\text{基準オーム}}={\frac {\text{基準ボルト}}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{基準アンペア}}}}}$
	便宜上、単位法オームを直接計算する場合（単相・三相共通）：
12	${\displaystyle {\text{基準オーム}}={\frac {{\text{オーム}}\cdot {\text{基準kVA}}}{kv_{L-L}^{2}\cdot 1000}}}$
短絡計算公式
	オーム換算：
13	${\displaystyle {\text{単位法オームリアクタンス}}={\frac {{\text{オームリアクタンス}}\cdot {\text{kVA基準}}}{kv_{L-L}^{2}\cdot 1000}}}$
14	${\displaystyle {\text{オームリアクタンス}}={\frac {\%{\text{ リアクタンス}}\cdot kv_{L-L}^{2}\cdot 1000}{\text{kVA基準}}}}$
15	${\displaystyle {\text{単位法オームリアクタンス}}={\frac {\text{パーセントオームリアクタンス}}{100}}}$
	あるkVA基準から別のkVA基準へのオーム値変更：
16	${\displaystyle {\text{kVA基準}}_{2}{\text{でのパーセントオームリアクタンス}}={\frac {{\text{kVA基準}}_{2}}{{\text{kVA基準}}_{1}}}\cdot {\text{基準}}_{1}{\text{でのパーセントオームリアクタンス}}}$
17	${\displaystyle {\text{kVA基準}}_{2}{\text{での 0/1 オームリアクタンス}}={\frac {{\text{kVA基準}}_{2}}{{\text{kVA基準}}*1}}\cdot {\text{基準}}*1{\text{での 0/1 オームリアクタンス}}}$
	系統リアクタンスの変更：
	a. 系統リアクタンスがパーセントで与えられている場合、式16を使用してkVA基準を変更する。
	b. 系統リアクタンスが短絡対称実効値kVAまたは電流で与えられている場合、以下のように単位法に変換する。
18	${\displaystyle {\text{0/1 リアクタンス}}={\frac {\text{計算で使用するkVA基準}}{\text{系統短絡kVA}}}}$
19	${\displaystyle {\text{0/1 リアクタンス}}={\frac {\text{計算で使用するkVA基準}}{{\text{系統短絡電流}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\text{系統kV}}*{L-L}}}}$
	近似的なモータkVA基準の計算：
	a. 誘導電動機および力率0.8の同期電動機の場合
20	${\displaystyle {\text{kVA基準}}\approx {\text{馬力定格 (hp)}}}$
	b. 力率1.0の同期電動機の場合
21	${\displaystyle {\text{kVA基準}}\approx 0.8\cdot {\text{馬力定格 (hp)}}}$
	ある電圧から別の電圧へのオーム値換算：
22	${\displaystyle {\text{電圧}}*1{\text{基準のオーム}}=\left({\frac {{\text{電圧}}*1}{{\text{電圧}}*2}}\right)^{2}\cdot {\text{電圧}}*2{\text{基準のオーム}}}$
	短絡kVAおよび電流計算
	対称短絡kVA：
23	${\displaystyle =100\cdot {\frac {\text{kVA基準}}{\%{\text{ X}}}}}$
24	${\displaystyle {\frac {\text{kVA基準}}{\text{0/1 X}}}}$
25	${\displaystyle =3\cdot {\frac {{\text{電圧}}*{L-N}^{2}}{{\text{オームリアクタンス}}\cdot 1000}}}$
26	${\displaystyle ={\frac {{\text{kv}}*{L-L}^{2}\cdot 1000}{\text{オームリアクタンス}}}}$
	対称短絡電流：
27	${\displaystyle =100\cdot {\frac {\text{kVA基準}}{\%{\text{ X}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\text{kv}}*{L-L}}}}$
28	${\displaystyle ={\frac {\text{kVA基準}}{{\text{0/1 X}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\text{kv}}*{L-L}}}}$
29	${\displaystyle ={\frac {{\text{kv}}*{L-L}\cdot 1000}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{オームリアクタンス}}}}}$
	非対称短絡電流およびkVA：
30	${\displaystyle {\text{非対称短絡電流}}={\text{対称電流}}\cdot {\text{X/R係数}}}$
31	${\displaystyle {\text{非対称短絡kVA}}={\text{対称kVA}}\cdot {\text{X/R係数}}}$

単位法における電圧、電流、インピーダンスは、変圧器の一次側、二次側のどちらに換算しても同じ値になることが示される。^[1]:85

例えば電圧について、変圧器の2つの側（側1と側2）の単位法電圧が同じであることを証明できる。ここで、両側の単位法電圧をそれぞれ E_1pu および E_2pu とする。

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{1,pu}}&={\frac {E_{1}}{V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {E_{2}}{V_{\text{base2}}}}\\&=E_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}}$

（出典：Alexandra von Meier Power System Lectures, UC Berkeley）

E₁ および E₂ は、側1および側2のボルト単位の電圧である。N₁ は側1のコイルの巻き数、N₂ は側2のコイルの巻き数である。V_base1 および V_base2 は、側1および側2の基準電圧である。

${\displaystyle V_{\text{base1}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}$

電流についても、両側の単位法電流が同じであることを以下のように証明できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{1,pu}}&={\frac {I_{1}}{I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{base2}}}\\&={\frac {I_{2}}{I_{\text{base2}}}}\\&=I_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}}$

（出典：Alexandra von Meier Power System Lectures, UC Berkeley）

ここで、I_1,pu および I_2,pu はそれぞれ側1および側2の単位法電流である。このとき、基準電流 I_base1 と I_base2 は、V_base1 と V_base2 の関係とは逆の関係になる。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base1}}}{V_{\text{base1}}}}\\S_{\text{base1}}&=S_{\text{base2}}\\V_{\text{base2}}&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}V_{\text{base1}}\\I_{\text{base2}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{V_{\text{base2}}}}\\I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{\text{base2}}\\\end{aligned}}}$

この関係の理由は、エネルギー保存の法則（電力保存）によるものである。

S_base1 = S_base2

変圧器の単位法形式における全負荷銅損は、その抵抗の単位法値に等しい。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{cu,FL}}&={\text{全負荷銅損}}\\&=I_{R1}^{2}R_{eq1}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{cu,FL,pu}}&={\frac {P_{\text{cu,FL}}}{P_{\text{base}}}}\\&={\frac {I_{R1}^{2}R_{eq1}}{V_{R1}I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{V_{R1}/I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{Z_{B1}}}\\&=R_{\text{eq1,pu}}\\\end{aligned}}}$

したがって、抵抗を単位法形式で表すことは、それが全負荷銅損をも表すことになるため、より有用であると言える。^[1]:86

上述の通り、単位法システム内には、エンジニアが任意の単位法システムを指定できる2つの自由度がある。その自由度とは、基準電圧（V_base）と基準電力（S_base）の選択である。慣例として、変圧器の両側に対して単一の基準電力（S_base）が選択され、その値は変圧器の定格電力に等しくなる。また慣例として、変圧器のそれぞれの側に対して、それぞれの定格電圧に等しい2つの異なる基準電圧（V_base1 および V_base2）が選択される。このように基準量を選択することで、上述のように変圧器を回路から事実上取り除くことができる。

例： 定格 10 kVA、240/100 V の変圧器を考える。二次側のインピーダンスは 1∠0° Ω であるとする。二次側の基準インピーダンスは以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\text{base,2}}&={\frac {V_{\text{base,2}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(100{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{1 }}\Omega \\\end{aligned}}}$

これは、二次側の単位法インピーダンスが 1∠0° Ω / 1 Ω = 1∠0° pu であることを意味する。このインピーダンスを一次側に換算すると、インピーダンスは以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{2}&=\left({\frac {240}{100}}\right)^{2}\times {\text{1∠0° }}\Omega \\&={\text{5.76∠0° }}\Omega \\\end{aligned}}}$

一次側の基準インピーダンスも二次側と同様に計算される。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\text{base,1}}&={\frac {V_{\text{base,1}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(240{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{5.76 }}\Omega \\\end{aligned}}}$

これは、単位法インピーダンスが 5.76∠0° Ω / 5.76 Ω = 1∠0° pu となることを意味し、予想通り変圧器の反対側から計算した場合と同じになる。

変圧器を解析するためのもう一つの有用なツールは基準変更公式である。これを用いることで、ある基準電圧と基準電力のセットに基づく基準インピーダンスから、別のセットに基づく基準インピーダンスへと移行できる。これは、二次側電圧が 1.2 kV の変圧器が、定格電圧が 1 kV である別の変圧器の一次側に接続されているような、現実のアプリケーションで特に有用となる。公式は以下の通りである。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\text{pu,new}}&=Z_{\text{pu,old}}\times {\frac {Z_{\text{base,old}}}{Z_{\text{base,new}}}}=Z_{\text{pu,old}}\times \left({\frac {V_{\text{base,old}}}{V_{\text{base,new}}}}\right)^{2}\times \left({\frac {S_{\text{base,new}}}{S_{\text{base,old}}}}\right)\\\end{aligned}}}$

• Beeman, Donald (1955). “Short-Circuit-Current Calculating Procedures”. In Beeman, Donald (ed.). Industrial Power Systems Handbook. McGraw-Hill. pp. see esp. 38–41, 52–55. ISBN 9780070043015.
• Elgerd, Olle I. (2007). “§2.5 Per-Unit Representation of Impedances, Currents, Voltages and Powers”. Electric Energy Systems Theory: An Introduction (1971 1st ed.). Tata McGraw-Hill. pp. 35–39. ISBN 978-0070192300.
• Yuen, Moon H. (Mar–Apr 1974). “Short Circuit ABC--Learn It in an Hour, Use It Anywhere, Memorize No Formula”. IEEE Transactions on Industry Applications IA-10 (2): 261–272. doi:10.1109/TIA.1974.349143. 
• William D. Jr., Stevenson (1975). Elements of power system analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-061285-4 
• Weedy, B.M. (1972). Electric power systems (2nd ed.). London; Toronto: J. Wiley. ISBN 0-471-92445-8. https://archive.org/details/electricpowersys0000weed 
• Glover, J. Duncan; Sarma, Mulukutla; Overbye, Thomas J. (2011). Power System Analysis and Design. Cengage Learning. pp. 108–116. ISBN 978-1111425777. https://books.google.com/books?id=U77A2C37QesC&q=power+system+analysis+and+design 
• Clarke, Edith (1943). Circuit Analysis of A-C Power Systems - Volume I - Symmetrical and Related Components. John Wiley & Sons. pp. 19–25. https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.278653/mode/2up?view=theater