原始置換群

"原始的"という用語を導入した同じ手紙の中で、 ガロアは以下の定理を主張している:^{[注釈 1]}

もし G が有限集合 X に作用する原始的可解群であるならば、X の位数は素数 p のべき乗である。それに加えて、X は p 個の元からなる有限体上のアフィン空間によって特徴づけられ、G は X にアフィン群の部分群として作用する。

G が作用する集合 X が有限集合の場合、その元の個数は G の次数と呼ばれる。

ガロアによるこの結果の系として、p が奇素数の場合、次数 p の可解で推移的な群の位数は p(p − 1) の約数になる。実際、素数次数の推移的な群はすべて原始的であり（なぜなら、G により固定された分割に含まれる要素数は p の約数でなければならないから）、p 個の元からなるアフィン空間のアフィン群の位数は p(p − 1) だからである。

従って、p が 3 より大きい素数である場合、p 次の対称群および交代群は、その位数が p(p − 1) よりも大きいため、可解ではない。アーベル-ルフィニの定理は、この結果と、対称群をガロア群としてもつ多項式が存在するという事実から導かれる。

原始性の等価な定義は、群 G の全ての推移的作用は、H を G の部分群としたとき、剰余類からなる集合 G/H への G の標準的作用^{[注釈 2]}から得られる作用と同型であるという事実に依存している。群の作用は、G の極大部分群 H の剰余類 G/H に同型であるならば原始的であり、そうでない場合（すなわち、H を真部分群として含むような G の真部分群 K が存在する場合）は非原始的である。これらの非原始的作用は誘導表現（英語版）の一例である。

次数の小さい原始群の個数は、ロバート・カーマイケルによる1937年の著作^[3]（p.162）によると、以下の通りである。

次数	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	OEIS
個数	1	2	2	5	4	7	7	11	9	8	6	9	4	6	22	10	4	8	4	9	4	7	5	オンライン整数列大辞典の数列 A000019

次数 16 の原始群は多数ある。これらの群はカーマイケルが注記^{[要ページ番号]}しているように、対称群と交代群以外は全て、2 個の元からなる有限体上の 4 次元空間に作用するアフィン群である。

Summarize Timeline Fact Check

• 集合 ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$ に作用する対称群 ${\displaystyle S_{3}}$ と置換

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}}$

を考える。${\displaystyle S_{3}}$ および ${\displaystyle \eta }$ から生成される群は、いずれも原始的である。

• ここで集合 ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$に作用する対称群 ${\displaystyle S_{4}}$ と置換

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}}$

を考えよう。${\displaystyle \sigma }$ から生成される群は原始的ではない。なぜなら、分割 ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$（ここで${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$、${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$ とする）は置換 ${\displaystyle \sigma }$ のもとで保存される、すなわち ${\displaystyle \sigma (X_{1})=X_{2}}$ かつ ${\displaystyle \sigma (X_{2})=X_{1}}$ であるからである。

• 全ての素数位数の推移的群は原始的である。
• 集合 ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ に作用する対称群 ${\displaystyle S_{n}}$ は全ての ${\displaystyle n}$ において原始的であり、集合 ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ に作用する交代群 ${\displaystyle A_{n}}$は、2 より大きい全ての ${\displaystyle n}$ において原始的である。