双対加群

R を環、M を（例えば）左 R-加群とする。R を自然な（左）R-加群とみなすとき、 \[ M^{*}=\operatorname{Hom}_{R}(M,R) \] は集合としては R-線形写像全体である。加法を点ごとに \[ (f+g)(m)=f(m)+g(m) \] で定めると、M^{*} はアーベル群となる。さらに（非可換環の場合）右 R-作用を \[ (f\cdot r)(m)=f(m)\,r \] で定めると、M^{*} は右 R-加群となる。可換環の場合には左作用と右作用が一致するので、M^{*} を通常ふたたび R-加群とみなす。^[2][3]

双対の対応 M \mapsto M^{*} は、加群の射 \varphi: M\to N に対し合成により \[ \varphi^{*}:\operatorname{Hom}_{R}(N,R)\to \operatorname{Hom}_{R}(M,R),\quad f\mapsto f\circ \varphi \] を与える。したがって双対は一般に 反変関手（contravariant functor）として振る舞う。^[4]

また、短完全列に双対を適用すると一般には完全性が保たれないが、Hom関手の一般論として、射影加群などの条件の下で挙動がよくなることが知られている。^[5]

M\cong R^{n} が有限ランクの自由加群（可換環の場合、あるいは適切に左右をそろえた場合）であるとき、M^{*} も同じランクの自由加群となり、基底に関して M^{*}\cong R^{n} が得られる。これは双対ベクトル空間の有限次元の場合と同様の性質である。^[6]

M が射影加群で（典型的には）有限生成であるとき、後述の正準写像 M\to M^{**} が同型になることが多く、双対は幾何学・可換代数における「局所自由性」の代数的反映として現れる。^[1]

M の双対 M^{*} のさらに双対 \[ M^{**}=\operatorname{Hom}_{R}(M^{*},R) \] を M の二重双対加群（double dual module）という。各元 m\in M に対し評価写像 \[ \operatorname{ev}_{m}:M^{*}\to R,\quad f\mapsto f(m) \] は R-線形であるから、写像 \[ j:M\to M^{**},\quad m\mapsto \operatorname{ev}_{m} \] が定まる。これを M から二重双対への正準写像（canonical map, natural map）という。^[7]

一般に j は同型とは限らず、M の性質（例えば torsion-free や reflexive など）を反映する。たとえば整域上では、二重双対はねじれがない（torsion-free）性質と関係し、j の核・余核がねじれ加群になるといった事実が知られている。^[7]

j:M\to M^{**} が同型であるとき、M は反射的加群（reflexive module）であるという。反射的加群は、幾何学的には（特に可換環・ネーター環の文脈で）正則性や特異点の研究と結びつき、可換代数・代数幾何で重要な役割を持つ。^[1]