双曲型平衡点

T : Rⁿ → Rⁿ は C¹ 写像で、p はその不動点とする。ヤコビ行列 DT(p) が単位円上に固有値を持たないとき、p は双曲型不動点と呼ばれる。

唯一つの不動点が双曲型であるような写像の一例として、次のアーノルドの猫写像が挙げられる：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{modulo }}1.}$

実際、固有値は次のようになる。

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}>1}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}<1}$

F : Rⁿ → Rⁿ を、臨界点 p を持つ C¹ ベクトル場とする。すなわち F(p) = 0 が成立するものとする。また J を F の p におけるヤコビ行列とする。行列 J に実部がゼロとなる固有値が存在しないとき、p は双曲型と呼ばれる。双曲型平衡点はまた、双曲型臨界点（hyperbolic critical point）あるいは初等的臨界点（elementary critical point）とも呼ばれる^[3]。

ハートマン＝グロブマンの定理によると、双曲型平衡点のある近傍における力学系の軌道構造は、線型化力学系の軌道構造と位相共役となる。

次の非線型系を考える。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=y,}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x-x^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0}$

この唯一の平衡点は (0, 0) である。そこでの線型化は

${\displaystyle J(0,0)={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-\alpha \end{pmatrix}}}$.

となる。この行列の固有値は ${\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}}$ である。すべての値の α ≠ 0 に対し、これらの固有値は実部がゼロとなることはない。したがって、この平衡点は双曲型平衡点である。この線型化系は、(0, 0) の近くでの非線型系と同様の挙動を示す。α = 0 のとき、この系は (0, 0) において双曲型ではない平衡点を持つ。