双球座標系

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${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm a)}$（${\displaystyle a>0}$）を焦点とする双球座標 ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ は以下のように定義される：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}}$

逆変換は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left({\frac {r^{2}-a^{2}}{Q}}\right),\\\tau &=\operatorname {arsinh} \left({\frac {2az}{Q}}\right),\\\phi &=\operatorname {arctan} \left({\frac {y}{x}}\right),\end{aligned}}}$

で、${\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$、${\displaystyle Q={\sqrt {(R^{2}+a^{2})^{2}-(2az)^{2}}}}$ である。座標 ${\displaystyle \sigma }$ は焦点 ${\displaystyle (0,0,\pm a)}$ で、${\displaystyle \phi }$ は z 軸上で不定となる。

各座標の範囲は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &\in [0,\pi ],\\\tau &\in (-\infty ,\infty ),\\\phi &\in [0,2\pi )\end{aligned}}}$

である。

${\displaystyle \sigma }$ の等値面は

${\displaystyle \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}+z^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

で表される。${\displaystyle 0<\sigma <\pi /2}$ のときはリンゴ（極がへこむ）、${\displaystyle \pi /2<\sigma <\pi }$ のときはレモン（極が尖る）のような形状になり、${\displaystyle \sigma =\pi /2}$ のときは球である。なお、${\displaystyle \sigma =0,\pi }$ はそれぞれ z 軸の ${\displaystyle |z|\geq a}$、${\displaystyle |z|\leq a}$ に対応する。

${\displaystyle \tau }$ の等値面は

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

で、${\displaystyle 0<|\tau |<\infty }$ のときは交差しない2つの球である。なお、${\displaystyle \tau =0}$ は xy 平面、${\displaystyle \tau =\pm \infty }$ は焦点 ${\displaystyle (0,0,\pm a)}$ に対応する。

${\displaystyle \phi }$ の等値面は半平面

${\displaystyle y=x\tan \phi }$

である。

双球座標系のヤコビ行列は

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\sigma ,\tau ,\phi )}}={\frac {a}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}(\cos \sigma \cosh \tau -1)\cos \phi &\sin \sigma \sinh \tau \cos \phi &-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \cos \phi \\(\cos \sigma \cosh \tau -1)\sin \phi &\sin \sigma \sinh \tau \sin \phi &(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma \sin \phi \\\sin \sigma \sinh \tau &-\cos \sigma \cosh \tau +1&0\\\end{bmatrix}}}$

である。したがって計量テンソルは

${\displaystyle {\boldsymbol {g}}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\sin ^{2}\sigma \\\end{bmatrix}}}$

である。 これより、微小体積要素は

${\displaystyle dV=d\sigma \,d\tau \,d\phi \,{\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}}$

となる。また、ラプラシアンは以下で与えられる：

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}{a^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}\right]}$