長崎県島原市出身。島原市立第三小学校、島原市立第二中学校、長崎県立島原高等学校、福岡工業大学卒業[2]。
2003年(平成15年)5月25日執行の島原市議会選挙に無所属で出馬。新人であるにもかかわらず、トップ当選を果たす[3]。2007年(平成19年)5月27日執行の同市議選において2期目の当選。
2008年(平成20年)11月30日執行の島原市長選挙に無所属で出馬。新人で元長崎県職員の横田修一郎に僅差で敗れる。得票数は、横田:14,551票、古川:13,343票。投票率は、70.19%。
2012年(平成24年)12月9日執行の同市長選挙に再び無所属で出馬。民主党、自由民主党、公明党の推薦を受けた現職の横田修一郎を破り、初当選。得票数は、古川:14,739 票、横田:12,598票。投票率は、70.24%[4]。
2016年(平成28年)11月20日告示の同市長選挙は自民、公明の推薦を受けたが、他に立候補の届け出は無く無投票で再選。同市長選での無投票は16年ぶり。
2020年(令和2年)無投票で3選。
2024年(令和6年)無投票で4選。なお、3回連続の無投票当選は初めて。
2024年現在、長崎県市長会会長、日本ジオパークネットワーク理事長、県土地改良事業団体連合会会長 、島原半島ジオパーク協議会会長、長崎県スポーツ少年団指導者協議会会長などを務めている。