正八胞体

要素の個数と接続関係

• 胞（3次元要素）：8個。全て立方体。
• 面：24枚。全て正方形。各面には立方体2個が集まる。
• 辺：32本。各辺には正方形3枚、立方体3個が集まる。
• 頂点：16個。各頂点には辺4本、正方形6枚、立方体4個が集まる。
• 双対：正十六胞体
• シュレーフリ記号：{4,3,3}

各次元の要素の個数についての解釈や算出方法はいくつかある。例えば、正八胞体を立方体が第4の方向に適当な距離だけ運動した軌跡――いわば「立方体柱(cubic prism)」――と見ることによる算出は、よく知られている。一般に k 次元要素の個数は ${\displaystyle 2^{4-k}\cdot {}_{4}\mathrm {C} _{k}}$ と表される。

パスカルの三角形の最上段を0行目、パスカルのピラミッド（英語版）の最上段を0段目と数えることにする。正八胞体の胞、面、辺、頂点の数はそれぞれパスカルのピラミッドの4段目の三角形の適当な行の数字の総和に等しい。超立方体の最も長い対角線に沿って見た場合、胞、面、辺、頂点はそれぞれパスカルのピラミッドの4段目の適当な行に並ぶ数字通りのグループに分割される。

また、面、辺、頂点に集まる各次元の図形の数は、それぞれに対応する面図形、辺図形、頂点図形におきかえて数えることができ、それぞれ、線分の端点の数、正三角形の頂点と辺の数、正四面体の頂点と辺と面の数に等しい。それぞれパスカルの三角形の2行目、3行目、4行目の両端以外の項としても現れる。

頂点座標

16個の頂点の座標の取り方の例を挙げる。最も考えやすいのは次のように取ることだろう。

• (±1, ±1, ±1, ±1) (複号任意) …… 16個

この場合、一辺の長さは2になる。第4の座標を無視するように3次元へと平行投影すると、3次元の立方体と同じ形になる。

また、次のように頂点を取ることもできる。

• (±2, 0, 0, 0) の全ての置換 …… 8個
• (±1, ±1, ±1, ±1) (複号同順) …… 2個
• (1, 1, −1, −1) の全ての置換 …… 6個

（2行目と3行目をまとめて、(±1, ±1, ±1, ±1) の複号のうち偶数個が正であるものと言い換えることもできる。）

この場合、一辺の長さは2になる。第4の座標を無視するように3次元へと平行投影すると、3次元の菱形十二面体と同じ形になる。

その他の性質

正八胞体の内部を無視して境界上の立方体だけを考えるとき、分離しない展開図は261通りある。ただし、3次元空間において鏡像関係にあるものを同一視して数えている。^[1]

正八胞体の2次元以上の要素を無視し、頂点と辺のみをえがく図（骨格グラフ^[2]などと呼ばれる）は、2次元平面にえがくと必ずどこかに辺の交差を生じる。これはクラトフスキーの定理などの例になっている。

立方体の針金をせっけん液に二度浸してシャボン玉を作ると、正八胞体のある種の三次元投影図の形になることが知られている（ただし、このときできる面はわずかに曲がっている）。