増分定理

定理 (増分の定理)

実函数 y = f(x) は x において微分可能とする（以下、f および x は固定する）。Δx が無限小超実数であるとき、Δx に対する y の増分を Δy ≔ f(x + Δx) − f(x) とすれば、Δx に対して適当な無限小 ε が存在して $${\displaystyle {\mathit {\Delta y}}=f'(x){\mathit {\Delta x}}+\varepsilon {\mathit {\Delta x}}}$$ が成り立つようにできる。

ここで Δx ≠ 0 であるならば、両辺を Δx で割って $${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)+\varepsilon }$$ と書くことができるから、これは商 Δy⁄Δx が微分係数 f′(x) に無限に近いこと（Δy⁄Δx ≈ f′(x)）を述べるものとみることができる。特に f′(x) は標準実数であるから、f′(x) は商 Δy⁄Δx の 標準成分（英語版）である: f′(x) = st(Δy⁄Δx)。

注意

この定理の標準版は以下のように述べることができる。同じように y ≔ f(x) は x において微分可能であるとして f および x は固定する。しかし今度は Δx は任意の非零実数値をとる一つの変数と考える。そうして Δx に対する y の増分を上と同じ式 Δy ≔ f(x + Δx) − f(x) で定義すれば、これは（いま f および x は止めているから）Δx のみの函数であることに注意する。このような設定の下で、Δx に対して適当な正数 ε が存在して $${\displaystyle {\mathit {\Delta y}}=f'(x){\mathit {\Delta x}}+\varepsilon {\mathit {\Delta x}}}$$ が成り立つようにできる。ただし、ε は Δx の函数として ${\textstyle \lim _{{\mathit {\Delta x}}\to 0}\varepsilon =0}$ を満たすものでなければならない。

• Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach

• Keisler, H. J. (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2^nd ed.), http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html 
• Robinson, Abraham (1996). Non-standard analysis (Revised ed.). Princeton University Press. ISBN 0-691-04490-2 

表 話 編 歴 無限小
歴史	擬等式（英語版） ライプニッツの記法 積分記号 超準解析への批判（英語版） The Analyst（英語版） 『方法』 カヴァリエリの原理（不可分の方法）
関連分野	超準解析 超準微積分学（英語版） 内的集合論（英語版） 綜合微分幾何学（英語版） 滑らかな無限小解析 構成的超準解析（英語版） 無限小応変理論（英語版）（物理学）
定式化	微分小 超実数 二重数 超現実数
個々の概念	標準部分（英語版） 移行原理（英語版） 超整数 増分定理 モナド 内的集合 レヴィ＝チヴィタ体 超有限集合（英語版） 連続の法則（英語版） 溢出（英語版） microcontinuity（英語版） 等質性の超越法則（英語版）
数学者	ゴットフリート・ライプニッツ アブラハム・ロビンソン ピエール・ド・フェルマー オーギュスタン＝ルイ・コーシー レオンハルト・オイラー
教科書	『無限小解析』 『無限小解析の基礎』 『解析教程』