多様体の射

アフィン多様体の間の正則写像は、その座標環の間の環準同型と一対一に対応する。具体的には、アフィン多様体 X, Y に対して、正則写像 f: X → Y から引き戻し f^*: k[Y] → k[X] への対応は全単射を与える。この対応により、アフィン多様体の圏は、有限生成被約 k-代数の圏と（矢印の向きを逆にする意味で）反変等価である。この等価性は、幾何学的問題を代数的手法で扱うことを可能にする代数幾何学の基本定理の一つである。

Y = A¹ となる特別の場合を考えるとき、正則写像 f: X → A¹ は正則関数（regular function）と呼ばれる。例えば、アフィン平面（英語版） A² 上の多項式 f(x, y) = x² + y² は正則関数を定める。代数多様体 X 上の関数 f が一点 x ∈ X において正則 (regular) であるとは、x の適当なザリスキー開近傍において f が有理関数（多項式の商）として表され、かつその分母が x において消えていないときに限られる^[1]。

アフィン多様体 X上の正則関数全体のなす環（座標環 k[X]、あるいはより抽象的に構造層の大域切断の環 ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$）は、アフィン代数幾何学において基本的対象である。

一方、完備な代数多様体（特に射影多様体）においては状況が異なる。連結な射影多様体上の大域的な正則関数は定数に限られる。これは複素解析におけるリウヴィルの定理（コンパクトなリーマン面上の正則関数は定数のみである）の代数的な類似であり、射影多様体の完備性（completeness）に由来する。直感的には、射影多様体上の正則関数は「極を持たない」有理関数であり、完備性により無限遠でも有界であることから、定数でなければならない。そのため、射影代数幾何学では正則関数の代わりに直線束（あるいは因子）の大域切断を考えるのが一般的である。

既約な代数曲線 V 上の函数体 k(V) に属する元（有理函数）は、V が非特異かつ射影的（あるいはより一般に完備）であれば、V から射影直線 P¹ への正則写像と同一視できる。 像 f(V) は、f が定数でなければ P¹ 全体となる。アフィン多様体であるアフィン直線 A¹ への正則写像（すなわち正則函数）として見た場合、無限遠点への写像は定義されないが、終域を射影直線とすることで、有理函数の極を無限遠点への値を持つ点として正則写像の枠組みで扱うことが可能となる。

正則写像では定義域のすべての点での定義が要求されるため、より緩い条件である有理写像（英語版）や双有理写像も頻繁に用いられる。

正則写像は定義域のすべての点で定義されているが、有理写像は稠密な開集合上でのみ定義される（あるいは、定義域の真部分集合に「不確定点」を持つことを許容する）。 正規代数多様体（英語版）上の有理関数について、もしそれが余次元2以上の真閉部分集合の補集合上で正則であるならば、それは全域で正則に拡張できる。言い換えれば、正規多様体上の有理写像の不確定点集合（indeterminacy locus）の余次元は2以上である。

正則写像 f: X → Y が逆写像 g: Y → X を持ち、g もまた正則であるとき、f は同型射（どうけいしゃ、英: isomorphism）あるいは双正則（そうせいそく、英: biregular）であるという。

台となる位相空間が同相であっても、代数多様体として同型とは限らない。例えば、標数 p > 0 の体上におけるフロベニウス射 ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$ は、アフィン直線から自身への写像として、位相空間としては同相写像（全単射かつ連続かつ開写像）を与えるが、同型射ではない（逆写像 ${\displaystyle t\mapsto t^{1/p}}$ が多項式では表されず正則でないため）。このように、代数幾何学においては、全単射な正則写像であっても同型写像であるとは限らない。ただし、標数0の代数的閉体上の非特異多様体の間の全射な正則写像に関しては、ザリスキーの主定理（英語版）により、全単射であれば同型となることが知られている。

f が代数多様体の間の射ならば、f の像はその閉包の稠密開集合を含む（可設的集合（英語版）を参照）。

複素代数多様体（英語版）の間の正則写像は、対応する複素解析空間の間の正則写像 (holomorphic map) を誘導する。逆に、射影代数多様体の間の正則写像（holomorphic map）は、必ず代数的な正則写像である（SerreのGAGA）。

• 代数函数
• 滑らかな射
• エタール射: 局所可微分同相の代数的類似物。